Tipi de Cantor

En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski, est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.

L'éventail de Knaster–Kuratowski se construit à partir de l'ensemble de Cantor ${\displaystyle C}$ et du point ${\displaystyle \textstyle p=({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}$ du plan ℝ², qui servira de sommet. Pour chaque point ${\displaystyle c}$ de ${\displaystyle C}$, on considère le segment de droite reliant ${\displaystyle (c,0)}$ à ${\displaystyle p}$. L'ensemble obtenue par la réunion de tous ces segments, pour tout ${\displaystyle c\in C}$ est connexe. Si on enlève ${\displaystyle p}$ il non-connexe mais pas totalement discontinu.

Pour le rendre totalement discontinu, sur chaque segment reliant ${\displaystyle (c,0)}$ à ${\displaystyle p}$ on ne conserve que les points dont l'ordonnée est :

• rationnelle si ${\displaystyle c}$ est une extrémité d'un des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Cantor ;
• irrationnelle sinon.

L'espace obtenue est l'éventail de Knaster–Kuratowski de sommet ${\displaystyle p}$^[1].

L'éventail de Knaster–Kuratowski munie de la topologie induite est connexe et totalement discontinu si on enlève ${\displaystyle p}$. C'est-à-dire que la composante connexe de chaque élément ${\displaystyle x}$ est le singleton ${\displaystyle \{x\}}$^[1]. Cependant il n'est pas « totalement séparé » : deux points situés sur une même « branche » ne sont pas séparés par un ouvert-fermé^[1].

Sa dimension topologique est 1^[2].

• Collier d'Antoine
• Cône (topologie)

• Bronisław Knaster et Kazimierz Kuratowski, « Sur les ensembles connexes », Fundamenta Mathematicae, vol. 2,‎ 1921, p. 206-255 (lire en ligne [PDF])
• (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. 1970) (ISBN 978-0-486-68735-3)

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