Topologie de Sazonov

La topologie de Sazonov (ou S-topologie) est une topologie associée à un espace localement convexe, définie comme la topologie initiale induite par les applications canoniques vers les complétés hilbertiens associés aux semi-normes hilbertiennes dominées.

Soit ${\displaystyle p}$ une semi-norme sur un espace localement convexe ${\displaystyle (X,\tau )}$ et considérons l’espace quotient ${\displaystyle X_{p}:=X/p^{-1}(0)}$ avec l’application canonique ${\displaystyle Q_{p}:X\to X_{p}}$ définie par ${\displaystyle Q_{p}(x)=[x]=x+p^{-1}(0)}$. On définit alors une norme ${\displaystyle {\overline {p}}}$ sur ${\displaystyle X_{p}}$ par ${\displaystyle {\overline {p}}(y)=p\left(Q_{p}^{-1}(y)\right)}$ pour ${\displaystyle y\in X_{p}}$, et le espace de Banach associé ${\displaystyle {\overline {X}}_{p}}$, obtenu par complétion pour cette norme. Soit ${\displaystyle i_{p}:X_{p}\hookrightarrow {\overline {X}}_{p}}$ l’injection naturelle, on définit alors l’application ${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}:X\to {\overline {X}}_{p}}$ par ${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}(x)=i_{p}\left(Q_{p}(x)\right)}$, qui est une application continue.

Soit maintenant ${\displaystyle q}$ une autre semi-norme sur ${\displaystyle X}$ telle que, pour tout ${\displaystyle x\in X}$, il existe une constante ${\displaystyle C}$ vérifiant ${\displaystyle p(x)\leq Cq(x)}$. Soient ${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}:X\to {\overline {X}}_{p}}$ et ${\displaystyle {\overline {Q}}_{q}:X\to {\overline {X}}_{q}}$ les applications définies ci-dessus. On définit alors un opérateur linéaire continu ${\displaystyle T_{q,p}:{\overline {X}}_{q}\to {\overline {X}}_{p}}$ comme suit :

Si ${\displaystyle z\in i_{q}(X_{q})\subseteq {\overline {X}}_{q}}$, alors ${\displaystyle T_{q,p}(z):={\overline {Q}}_{p}\left({\overline {Q}}_{q}^{-1}(z)\right)}$. Ceci est bien défini grâce à la domination de ${\displaystyle p}$ par ${\displaystyle q}$. Si ${\displaystyle z\notin i_{q}(X_{q})}$ et ${\displaystyle z\in {\overline {X}}_{q}}$, alors il existe une suite ${\displaystyle (z_{n})_{n}\in i_{q}(X_{q})}$ convergeant vers ${\displaystyle z}$. La suite ${\displaystyle (T_{q,p}(z_{n}))n}$ converge également dans ${\displaystyle {\overline {X}}_{p}}$, et on définit donc ${\displaystyle T_{q,p}(z):=\lim \limits _{n\to \infty }T_{q,p}(z_{n})}$. Soit ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ une famille de semi-normes hilbertiennes continues définie comme suit : ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ si et seulement s’il existe une semi-norme hilbertienne ${\displaystyle q}$ telle que, pour tout ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle p(x)\leq Cq(x)}$ pour une constante ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$, et si ${\displaystyle T_{q,p}}$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt. Alors la topologie ${\displaystyle \tau ^{S}:=\tau ^{S}(X,\tau )}$ induite par la famille ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est appelée la topologie de Sazonov^[1],[2],[3].

• O. G. Smolyanov, S. V. Fomin: Меры на топологических линейных пространствах, Успехи математических наук, 1976
• V. V. Sazonov: О характеристических функционалах, Теория вероятностей и её применения 3, 1958, 201–205
• Laurent Schwartz - Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. 1973

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