Tribu optionnelle

En mathématiques, une tribu optionnelle ou σ-algèbre optionnelle est la tribu générée par tous les processus adaptés et càdlàg (continue à droite, limite à gauche).

Étant donné un espace de probabilité filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {F} ,P)}$ avec une filtration ${\displaystyle \mathbf {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$ satisfaisant les conditions usuelles.

La tribu optionnelle ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ (ou ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {F} )}$ notée) est la tribu sur ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} _{+}}$ générée par tous les processus adaptés et càdlàg.

Un processus qui est mesurable par rapport à cette tribu, c'est-à-dire l'application ${\displaystyle (\omega ,t)\mapsto X_{t}(\omega )}$ est ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-mesurable, est appelé optionnel^[1].

Soient ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ la tribu prévisible et ${\displaystyle {\text{Prog}}}$ la tribu progressivement mesurable. Alors l'inclusion s'applique

${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset {\mathcal {O}}\subset {\text{Prog}}\subset {\mathcal {F}}_{\infty }\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}).}$

• Claude Dellacherie, Capacités et processus stochastiques, Springer, 1972
• (en) Daniel revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1999, p. 172

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