Triplet de Gelfand

En analyse fonctionnelle, le triplet de Gelfand (aussi triplet de Banach-Gelfand ou triade hilbertienne ou rigged Hilbert space^[1]) est un espace-triplet ${\displaystyle (V,H,V')}$ consistant en un espace de Hilbert ${\displaystyle H}$, un espace vectoriel topologique ${\displaystyle V}$ et son dual topologique ${\displaystyle V'}$. L'espace ${\displaystyle V}$ est choisi tel que ${\displaystyle V}$ soit un sous-espace dense dans ${\displaystyle H}$ et que son inclusion soit continue. Cette construction a l'avantage que les éléments de ${\displaystyle H}$ peuvent être exprimés comme des éléments de l'espace dual ${\displaystyle V^{'}}$ en utilisant le théorème de représentation de Fréchet-Riesz.

Le triplet de Gelfand porte le nom de Israel Gelfand.

Soit ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ un espace de Hilbert séparable et ${\displaystyle V\subset H}$ un espace vectoriel topologique dense dans ${\displaystyle H}$ avec une inclusion ${\displaystyle i_{1}:V\hookrightarrow H}$ continue. Soient ${\displaystyle H'}$ et ${\displaystyle V'}$ les espaces duals correspondants. La séparabilité de ${\displaystyle H}$ garantit l'existence d'un sous-espace dense dans ${\displaystyle H}$.

Il découle de ces propriétés que l'inclusion dense suivante est vérifiée

${\displaystyle V\subset H\subset V'}$

où ${\displaystyle H}$ est identifié à ${\displaystyle H'}$. ${\displaystyle H}$ est appelé l'espace pivot.

Alors pour tout ${\displaystyle h\in H,v\in V}$, on a :

${\displaystyle \langle h,v\rangle H={}_{V'}\langle h,v\rangle _{V},}$

où le côté droit désigne le crochet de dualité.

Le triplet ${\displaystyle (V,H,V')}$ est appelé triplet de Gelfand^[2].

On peut montrer que ${\displaystyle H'\subset V'}$ est également dense et que l'inclusion ${\displaystyle i_{2}:H'\hookrightarrow V'}$ est continue. Pour un ${\displaystyle \varphi \in H'}$ et ${\displaystyle x\in H}$, on définit la paire duale

${\displaystyle {}_{V'}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).}$

Pour chaque ${\displaystyle \varphi \in H'}$ il existe une représentation de Riesz unique ${\displaystyle h_{\varphi }\in H}$ telle que

${\displaystyle {}_{H'}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}}$

pour tout ${\displaystyle x\in H}$. On peut donc identifier ${\displaystyle H\cong H'}$ et donc l'inclusion suit

${\displaystyle V\subset H\subset V',}$

et l’inclusion ${\displaystyle i_{3}:H\hookrightarrow V'}$ est continue.

• Soient ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ l’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (qui est un cas particulier d’espace L^p), ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace de Schwartz et ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ l'espace de distributions tempérées. Alors le triplet ${\displaystyle ({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')}$ est un triplet de Gelfand.
• Soient ${\displaystyle \ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }}$les espaces de suites classiques. Alors le triplet ${\displaystyle (\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })}$ est un triplet de Gelfand.
• On note ${\displaystyle S_{1}}$ l’espace de Kondratiev des fonctions tests stochastiques, ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ l’espace du bruit blanc et ${\displaystyle S_{-1}}$) l’espace de Kondratiev des distributions stochastiques. Alors ${\displaystyle (S_{1},{\mathcal {W}},S_{-1})}$ forme un triplet de Gelfand.
• Soient ${\displaystyle F_{p,q}^{s}(\mathbb {R} ^{n}),F_{2,2}^{0}(\mathbb {R} ^{n}),F_{p',q'}^{-s}(\mathbb {R} ^{n})}$ des espaces de Triebel-Lizorkin. Alors le triplet ${\displaystyle (F_{p,q}^{s},F_{2,2}^{0},F_{p',q'}^{-s})}$ est un triplet de Gelfand.
• Soient les espaces de Watanabe définis par ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\infty }=\bigcap _{k\geq 1}\bigcap _{1<p<\infty }\mathbb {D} ^{k,p}}$ et ${\displaystyle \mathbb {D} ^{-\infty }=\bigcup _{k\geq 1}\bigcup _{1<p<\infty }\mathbb {D} ^{k,p}}$. Alors on obtient le triplet de Gelfand ${\displaystyle \left(\mathbb {D} ^{\infty },\,L^{2}(\Omega ),\,\mathbb {D} ^{-\infty }\right)}$.

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