Valuation p-adique

En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier non nul n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n : cet exposant est noté ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$. De manière équivalente, ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ est l'exposant auquel ${\displaystyle p}$ apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle n}$. On prolonge cette notation aux rationnels non nuls en posant ${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {m}{n}}\right)=\nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$.

La valuation p-adique est une valuation, analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue aboutit aux nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$, leur extension par rapport à la valuation ${\displaystyle p}$-adique aboutit au corps des nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$^[1].

Soit p un nombre premier.

La valuation p-adique (des entiers) est définie comme étant l'application

${\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} \mid \,p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \mathbb {N} }$ désignant l'ensemble des entiers naturels et ${\displaystyle m\mid n}$ signifiant m divise n ^[3].

Par exemple, pour ${\displaystyle -12}$, dont la valeur absolue est égale à${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$, on a ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$, ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$, et ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$.

La notation ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$ est parfois utilisée pour signifier que ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$^[4].

Si ${\displaystyle n}$ est un entier positif, alors

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leqslant \log _{p}n}$

car par définition : ${\displaystyle n\geqslant p^{\nu _{p}(n)}}$.

La valuation p-adique peut être étendue aux nombres rationnels^[5],[6] par :

${\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)\end{matrix}}}$.

Par exemple, ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ et ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$, car ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$.

On a en particulier:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

De plus, si ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$, alors

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

La valeur absolue p-adique sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est la fonction définie par

${\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-v_{p}(x)}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}}$

Par exemple, ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ et ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

La valeur absolue p-adique est :

non-négative	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
définie positive	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
multiplicative	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
ultramétrique	${\displaystyle |r+s|_{p}\leqslant \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

Comme elle est multiplicative (${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ ) on a ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ et donc on a aussi ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ L'inégalité triangulaire ${\displaystyle |r+s|_{p}\leqslant |r|_{p}+|s|_{p}}$ (sous-additivité) découle de l'inégalité ultramétrique ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$.

Le choix de la base p dans l'exponentiation ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, et permet d'avoir la formule du produit :

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

où le produit prend en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée ${\displaystyle |r|_{0}}$. Cela découle simplement de la décomposition en facteurs premiers.

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ peut être muni d'une structure d'espace métrique par la distance (ultramétrique et invariante par translation)

${\displaystyle d\colon {\begin{matrix}&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}}$

La complétion de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ pour cette distance conduit au corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des nombres p-adiques.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic valuation » (voir la liste des auteurs).

• Nombres p -adiques
• Valuation
• Théorème d'Ostrowski
• Formule de Legendre (donnant la valuation p-adique d'une factorielle)
• Distance ultramétrique

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