Äußeres Tensorprodukt

Das äußere Tensorprodukt ist in der linearen Algebra ein spezielles Produkt zweier Dyaden, die aus zwei mit dem dyadischen Produkt verknüpften Vektoren bestehen. Beim äußeren Tensorprodukt werden Kreuzprodukte der Vektoren in den Dyaden gebildet, so dass dieses Tensorprodukt auf drei dimensionale Räume beschränkt ist.

Mit dem äußeren Tensorprodukt lassen sich die Hauptinvarianten, der Kofaktor und die Adjunkte eines Tensors elegant ausdrücken. Bei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen wird das Kreuzprodukt von mit einem Tensor transformierten Vektoren benötigt, was sich mit dem äußeren Tensorprodukt vereinfachen lässt.

Die Bezeichnung „äußeres Tensorprodukt“ leitet sich aus dem Zweitnamen „äußeres Produkt“ des Kreuzproduktes von Vektoren her. Gelegentlich wird auch das dyadische Produkt von Tensoren als „äußeres Tensorprodukt“ bezeichnet. Die Benennung hier folgt W. Ehlers.^[1]

Mit vier Vektoren , , , ∈ 𝕍³ aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍³ ist das äußere Tensorprodukt „#“ mit dem dyadischen „⊗“ und dem Kreuzprodukt „ד definiert durch:

( ⊗ ) # ( ⊗ ) :＝ ( × ) ⊗ ( × )

Das Symbol „#“ wird hier benutzt, weil es aus zwei Kreuzen besteht und im äußeren Tensorprodukt das Kreuzprodukt „ד doppelt vorkommt.

Mit Vektorraumbasen _1,2,3, _1,2,3, _1,2,3 und _1,2,3 kann jeder Tensor zweiter Stufe A als Summe

A ＝ A^ij _i ⊗ _j ＝ Ã^ij _i ⊗ _j

mit zu bestimmenden Komponenten A^ij bzw. Ã^ij dargestellt werden. In dieser Gleichung wie auch in den folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über alle, in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier i und j, von eins bis drei zu summieren ist. Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren zweiter Stufe lautet in dieser Darstellung:

(A^ij _i ⊗ _j) # (B^kl _k ⊗ _l) ＝ A^ij B^kl (_i × _k) ⊗ (_j × _l)

Mit den Spaltenvektoren _i :＝ A · ê_i bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 ist

A ＝ _i ⊗ ê_i ＝ (_1 2 3),

was für andere Tensoren entsprechend geschrieben werden kann. Dann lautet das äußere Tensorprodukt

A # B	＝	(i ⊗ êi) # (j ⊗ êj) ＝ (i × j) ⊗ (êi × êj)
	＝	(2 × 3 − 3 × 2) ⊗ ê1 + (3 × 1 − 1 × 3) ⊗ ê2
		+ (1 × 2 − 2 × 1) ⊗ ê3
	＝	(2 × 3 − 3 × 2 3 × 1 − 1 × 3 1 × 2 − 2 × 1)

Ohne Referenz auf Dyaden kann das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren A und B symbolisch mit dem Einheitstensor 1 geschrieben werden als

A # B ＝ [Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + [A · B + B · A − Sp(A) B − Sp(B) A]^⊤

Darin bildet Sp die Spur ihres Arguments.

Denn wenn diese Tensoren mittels A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j bezüglich der Standardbasis ê_1,2,3 notiert werden, dann gilt mit dem Permutationssymbol ϵ_ijk:

A # B	＝ (Aij êi ⊗ êj) # (Bkl êk ⊗ êl) ＝ Aij Bkl (êi × êk) ⊗ (êj × êl)
	＝ ϵikm ϵjln Aij Bkl êm ⊗ ên

denn ê_p × ê_q ＝ ϵ_pqr ê_r. Das Produkt zweier Permutationssymbole hängt über die Determinante

ϵikm ϵjln	＝	δij	δil	δin
		δkj	δkl	δkn
		δmj	δml	δmn
	＝	δij δkl δmn + δil δkn δmj + δin δkj δml
		− δij δkn δml − δil δkj δmn − δin δkl δmj

mit dem Kronecker-Delta δ_ij zusammen. Daraus ergibt sich:

A # B	＝	(δij δkl δmn + δil δkn δmj + δin δkj δml
		− δij δkn δml − δil δkj δmn − δin δkl δmj) Aij Bkl êm ⊗ ên
	＝	Aii Bkk êm ⊗ êm + Aij Bki êj ⊗ êk + Aij Bjl êl ⊗ êi
		− Aii Bkl êl ⊗ êk − Aij Bji êm ⊗ êm − Aij Bkk êj ⊗ êi
	＝	Sp(A) Sp(B) 1 + A⊤ · B⊤ + B⊤ · A⊤
		− Sp(A) B⊤ − Sp(A · B) 1 − Sp(B) A⊤

was der eingangs gegebenen Identität entspricht.

Aus der koordinatenfreien Darstellung lässt sich ablesen:

1 # 1 ＝ 2 1

A # 1 ＝ Sp(A) 1 − A^⊤

A # A ＝ [Sp(A)² − Sp(A · A)] 1 + 2 [A · A − Sp(A) A]^⊤

x ∈ ℝ → (x A) # B ＝ A # (x B) ＝ x A # B

(A # B)^⊤ ＝ (A^⊤) # (B^⊤)

Das äußere Tensorprodukt ist nicht assoziativ, denn meistens ist

A # (B # C) ≠ (A # B) # C

wie das Beispiel B ＝ C ＝ 1 zeigt:

A # (1 # 1)	＝	A # (2 1) ＝ 2 Sp(A) 1 − 2 A⊤
(A # 1) # 1	＝	[Sp(A) 1 − A⊤] # 1
	＝	2 Sp(A) 1 − [Sp(A⊤) 1 − A]
	＝	Sp(A) 1 + A

Das äußere Tensorprodukt ist kommutativ:

A # B ＝ B # A

wie aus der koordinatenfreien Darstellung ablesbar ist.

Das äußere Tensorprodukt ist distributiv über der Addition und Subtraktion:

A # (B + C) ＝ A # B + A # C

(A + B) # C ＝ A # C + B # C

was in der koordinatenfreien Darstellung nachweisbar ist.

H. Altenbach definiert das doppelte Kreuzprodukt von Dyaden als^[2]

( ⊗ ) ×× ( ⊗ ) :＝ ( × ) ⊗ ( × ) ＝ ( ⊗ ) # ( ⊗ )

das sich nur durch die Transposition des ersten Faktors vom äußeren Tensorprodukt unterscheidet.

Das äußere Tensorprodukt zweier Tensoren kann als Funktion dieser Tensoren aufgefasst werden:

f(A, B) :＝ A # B

Diese Funktion ist eine isotrope Tensorfunktion.

Denn mit einem beliebigen orthogonalen Tensor Q (mit Q^⊤ · Q ＝ 1 und det(Q)＝±1) gilt, weil bei der Spur eines Tensorprodukts die Faktoren zyklisch vertauscht werden dürfen

f(Q · A · Q⊤, Q · B · Q⊤) ＝ …
＝	(Q · A · Q⊤) # (Q · B · Q⊤)
＝	[Sp(Q · A · Q⊤) Sp(Q · B · Q⊤) − Sp((Q · A · Q⊤) · (Q · B · Q⊤))] 1
	+ (Q · A · Q⊤)⊤ · (Q · B · Q⊤)⊤ + (Q · B · Q⊤)⊤ · (Q · A · Q⊤)⊤
	− Sp(Q · A · Q⊤) (Q · B · Q⊤)⊤ − Sp(Q · B · Q⊤) (Q · A · Q⊤)⊤
＝	Q · {[Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + A⊤ · B⊤ + B⊤ · A⊤
	− Sp(A) B⊤ − Sp(B) A⊤} · Q⊤
＝	Q · f(A, B) · Q⊤

was eine definierende Eigenschaft von isotropen Tensorfunktionen ist.

Bildung des Frobenius-Skalarproduktes „:“ des äußeren Tensorproduktes A#B mit einem dritten Tensor C liefert mit dem ersten Zwischenergebnis im Abschnitt über die #Koordinatenfreie Darstellung:

(A # B) : C	＝ (ϵikm ϵjln Aij Bkl êm ⊗ ên) : (Cpq êp ⊗ êq)
	＝ ϵikm ϵjln Aij Bkl Cmn

Daraus ist die zyklische Vertauschbarkeit

(A # B) : C ＝ (B # C) : A ＝ (C # A) : B

ableitbar. Siehe auch #Spatprodukt.

Aus

T # 1 ＝ Sp(T) 1 − T^⊤

T # T ＝ [Sp(T)² − Sp(T · T)] 1 + 2 [T · T − Sp(T) T]^⊤

und der zyklischen Vertauschbarkeit der Faktoren im Produkt (A # B) : C, siehe #Skalarprodukt mit einem dritten Tensor, folgt:

(T # 1) : 1	＝ 3 Sp(T) − Sp(T)	＝ 2 I1(T)
(T # T) : 1	＝ (T # 1) : T ＝ Sp(T)2 − Sp(T · T)	＝ 2 I2(T)
(T # T) : T	＝ Sp(T)3 + 2 Sp(T3) − 3 Sp(T) Sp(T2)	＝ 6 I3(T)

Die Funktionen I_1,2,3 sind die drei Hauptinvarianten des Tensors T.

Der Kofaktor cof(T) ＝ det(T) T^⊤−1 eines invertierbaren Tensors schreibt sich mit dem Satz von Cayley-Hamilton

cof(T) ＝ T^⊤ · T^⊤ − Sp(T) T^⊤ + I₂(T) 1

Letztere Identität gilt auch für nicht invertierbare Tensoren. Das äußere Tensorprodukt eines Tensors mit sich selbst liefert den doppelten Kofaktor, siehe #Koordinatenfreie Darstellung oder #Eigenschaften:

T # T	＝	[Sp(T)2 − Sp(T · T)]	1 + 2 [T· T − Sp(T) T]⊤
	＝	2 I2(T)	1 + 2 [T⊤· T⊤ − Sp(T) T⊤]
	＝	2 [T⊤ · T⊤ − Sp(T) T⊤ + I2(T) 1]
	＝	2 cof(T)

Die Adjunkte ist der transponierte Kofaktor:

adj(T) ＝ cof(T)^⊤ ＝ (T # T)^⊤ ＝ (T^⊤) # (T^⊤)

Das Tensorprodukt zweier äußerer Produkte ist die Summe zweier äußerer Produkte zweier Tensorprodukte:

(A # B) · (C # D) ＝ (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

Denn mit der Lagrange-Identität

( × ) · ( × ) ＝ ( · ) ( · ) − ( · ) ( · )

und der Darstellung der Tensoren mit ihren Spaltenvektoren wie im Abschnitt #Definition berechnet sich:

(A # B) · (C # D) ＝ …
＝	[(i ⊗ êi) # (j ⊗ êj)] · [(k ⊗ êk) # (l ⊗ êl)]
＝	[(i × j) ⊗ (êi × êj)] · [(k × l) ⊗ (êk × êl)]
＝	[(êi × êj) · (k × l)] (i × j) ⊗ (êk × êl)  | Lagrange-Identität
＝	[(k · êi) (l · êj) − (l · êi) (k · êj)] (i × j) ⊗ (êk × êl)
＝	(i × j) ⊗ [(k · êi) êk × (l · êj) êl]
	− (i × j) ⊗ [(k · êj) êk × (l · êi) êl]
＝	[­i ⊗ (k · êi) êk] # [­j ⊗ (l · êj) êl]
	+ (i × j) ⊗ [(l · êi) êl × (k · êj) êk]
＝	[(i ⊗ êi) · (k ⊗ êk)] # [(j ⊗ êj) · (l ⊗ êl)]
	+ [(i ⊗ êi) · (l ⊗ êl)] # [(j ⊗ êj) · (k ⊗ êk)]
＝	(A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

was zu zeigen war.

Mit Hilfe des äußeren Tensorprodukts lassen sich Tensoren aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren „ausklammern“:

(A · ) × (A · ) ＝ (A # A) · ( × ) ＝ cof(A) · ( × )

Dieses Ergebnis wird bei der Berechnung der Inhalte verformter Flächen gebraucht. Es folgt aus der Identität

(A # B) · ( × ) ＝ (A · ) × (B · ) − (A · ) × (B · )

im Spezialfall B ＝ A. Zum Nachweis wird die Darstellung der Tensoren mit ihren Spaltenvektoren wie im Abschnitt #Definition benutzt:

A ＝ _k ⊗ ê_k, B ＝ _k ⊗ ê_k, sowie ＝ u_k ê_k, ＝ v_k ê_k

A · ＝ (_i ⊗ ê_i) · u_j ê_j ＝ u_{i i}

(A · ) × (B · ) ＝ (u_{i i}) × (v_{j j}) ＝ u_i v_{j i} × _j

(A · ) × (B · ) − (A · ) × (B · ) ＝ (u_i v_j − v_i u_j) _i × _j

Mit der Lagrange-Identität

( × ) · ( × ) ＝ ( · ) ( · ) − ( · ) ( · )

ist andererseits

(A # B) · ( × )	＝ [(i ⊗ êi) # (j ⊗ êj)] · ( × )
	＝ [(i × j) ⊗ (êi × êj)] · ( × )
	＝ [(êi × êj) · ( × )] i × j  | Lagrange-Identität
	＝ (ui vj − vi uj) i × j
	＝ (A · ) × (B · ) − (A · ) × (B · )

was zu zeigen war.

In der Darstellung der Tensoren mit ihren Spaltenvektoren wie im Abschnitt #Definition ist

A ＝ _k ⊗ ê_k

und für Tensoren B sowie C entsprechend. Dann ist

(A # B) : C ＝	(1 × 2) · 3	+ (2 × 3) · 1	+ (3 × 1) · 2
	− (3 × 2) · 1	− (2 × 1) · 3	− (1 × 3) · 2

Denn mit dem Permutationssymbol ϵ_ijk schreibt sich

(A # B) : C	:＝ [(i ⊗ êi) # (j ⊗ êj)] : (k ⊗ êk)
	:＝ [(i × j) ⊗ (êi × êj)] : (k ⊗ êk)
	:＝[(i × j) · k] [(êi × êj) · êk]
	＝ ϵijk [(i × j) · k]

denn ϵ_pqr ＝ (ê_p × ê_q) · ê_r. Die letzte Summe ausgeschrieben entspricht obiger Identität.

Formelsammlung Tensoralgebra

1. ↑ W. Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen, Technische Mechanik und Höhere Mechanik. 2014, S. 24 f. (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 28. Februar 2015]). 
2. ↑ H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 32.