Polyeder
3D-Ansicht eines Pentakisdodekaeders (Animation)
Anzahl der Seitenflächen
60
Art der Seitenflächen
60 gleichschenklige Dreiecke
Anzahl Ecken
32
Art der Ecken
32 × {3.3.3.3.3}
Anzahl Kanten
90
Symmetriegruppe
{{{Symmetriegruppe}}}
Schläfli-Symbol
dual zu
Ikosaederstumpf
Netz des Pentakisdodekaeders
Drahtgittermodell eines PentakisdodekaedersDas Pentakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder , das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum Ikosaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten. Der Name setzt sich aus den griechischen Wörtern πεντάκις (pentakis , fünffach) und δωδεκάεδρον (dodekaedron , Zwölfflächner) zusammen.
Entstehung
Als Grundkörper dient quasi das Dodekaeder mit Seitenlänge
a
{\displaystyle a}
Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche und der Flankenlänge
b
{\displaystyle b}
a
10
50
+
10
5
<
b
<
a
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
Für den zuvor genannten minimalen Wert von
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
Das spezielle Pentakisdodekaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn
b
=
3
38
a
(
9
+
5
)
≈
0,887
058
⋅
a
{\displaystyle b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})\approx 0{,}887058\cdot a}
Nimmt
b
{\displaystyle b}
Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge
b
{\displaystyle b}
Überschreitet
b
{\displaystyle b}
b
=
a
2
(
1
+
5
)
{\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
Dodekaederstern .
Allgemein
Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlängen a , b [ 1]
Volumen
V
=
a
2
4
(
a
(
15
+
7
5
)
+
2
(
10
+
4
5
)
(
10
b
2
−
a
2
(
5
+
5
)
)
)
{\displaystyle V={\frac {a^{2}}{4}}\left(a\left(15+7{\sqrt {5}}\right)+2{\sqrt {\left(10+4{\sqrt {5}}\right)\left(10b^{2}-a^{2}(5+{\sqrt {5}})\right)}}\right)}
Oberflächeninhalt
A
O
=
15
a
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle A_{O}=15a\,{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
b
2
−
a
2
10
(
5
+
5
)
{\displaystyle k={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}
Inkugelradius
ρ
=
a
(
14
+
6
5
)
(
a
+
2
b
)
2
−
4
(
4
b
2
−
a
2
)
4
a
+
8
b
{\displaystyle \rho \,={\frac {a\,{\sqrt {(14+6{\sqrt {5}})(a+2b)^{2}-4(4b^{2}-a^{2})}}}{4a+8b}}}
Flächenwinkela )
cos
α
1
=
4
b
2
5
−
a
2
(
4
+
3
5
)
−
4
a
4
b
2
(
5
+
2
5
)
−
2
a
2
(
7
+
3
5
)
5
(
4
b
2
−
a
2
)
{\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {4b^{2}{\sqrt {5}}-a^{2}(4+3{\sqrt {5}})-4a{\sqrt {4b^{2}(5+2{\sqrt {5}})-2a^{2}(7+3{\sqrt {5}})}}}{5(4b^{2}-a^{2})}}}
Flächenwinkelb )
cos
α
2
=
b
2
(
1
−
5
)
−
a
2
4
b
2
−
a
2
{\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {b^{2}(1-{\sqrt {5}})-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}}}
Speziell
Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlänge a [ 2]
Volumen
V
=
15
76
a
3
(
23
+
11
5
)
{\displaystyle V={\frac {15}{76}}\,a^{3}(23+11{\sqrt {5}})}
Oberflächeninhalt
A
O
=
15
19
a
2
413
+
162
5
{\displaystyle A_{O}={\frac {15}{19}}\,a^{2}{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}
Pyramidenhöhe
k
=
a
19
65
+
22
5
5
{\displaystyle k={\frac {a}{19}}{\sqrt {\frac {65+22{\sqrt {5}}}{5}}}}
Inkugelradius
ρ
=
3
2
a
81
+
35
5
218
{\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {81+35{\sqrt {5}}}{218}}}}
Kantenkugelradius
r
=
a
4
(
3
+
5
)
{\displaystyle r={\frac {a}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
109
(
80
+
9
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {-1}{109}}\,(80+9{\sqrt {5}})}
Sphärizität
Ψ
=
5700
π
(
567
+
253
5
)
3
10
413
+
162
5
{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{5700\,\pi \left(567+253{\sqrt {5}}\right)}}{10{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}}}
Anmerkungen
↑
a
10
50
+
10
5
<
b
<
a
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}<b<{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
↑
b
=
3
38
a
(
9
+
5
)
{\displaystyle b={\tfrac {3}{38}}\,a\,(9+{\sqrt {5}})}
a
>
b
{\displaystyle a>b}
Weblinks
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{5700\,\pi \left(567+253{\sqrt {5}}\right)}}{10{\sqrt {413+162{\sqrt {5}}}}}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d48f8f79e54fe090fb68d7e2cdf1f6120cb91f7.svg)
