Cuspide (matematica)

In analisi matematica, si dice che una funzione di variabile reale ${\displaystyle f(x)}$ continua in un punto ${\displaystyle x_{0}}$ del dominio, ha una cuspide in ${\displaystyle x_{0}}$ se si verifica la seguente condizione:

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}=\pm \infty ,\qquad \lim _{h\to 0^{-}}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})} \over {h}}=\mp \infty ,}$

ossia i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in ${\displaystyle x_{0}}$ sono divergenti (tendenti a ${\displaystyle \pm \infty }$) con segno opposto. Geometricamente, si può osservare come le semitangenti destra e sinistra siano verticali e formino un angolo nullo.

Si consideri la funzione ${\displaystyle f(x)={\sqrt {|x|}}}$ definita per ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. La derivata della funzione è

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{2{\sqrt {-x}}}}&{\text{se }}x<0,\\{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}&{\text{se }}x>0,\end{cases}}}$

e passando al limite per ${\displaystyle x\to 0}$ si ha

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{-{\frac {1}{2{\sqrt {-x}}}}}=-\infty .}$

Dunque la funzione presenta una cuspide in ${\displaystyle 0}$.

• Punto angoloso
• Punto di flesso
• Derivata
• Studio di funzione
• Folium di Cartesio
• Lemniscata di Bernoulli

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla cuspide

• cuspide, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cusp, su MathWorld, Wolfram Research.