Differintegrale

Nell'analisi frazionaria, un'area della matematica applicata, il differintegrale è un operatore formato dalla combinazione di derivata e integrale. Applicato ad una funzione ${\displaystyle f}$, il q-differintegrale di ${\displaystyle f}$, indicato come

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

è la derivata frazionaria (se q > 0) o l'integrale frazionario (se q < 0). Se q = 0, allora il q-differintegrale di una funzione è la funzione stessa. Nel contesto della derivata e integrale frazionari, ci sono numerose definizioni del differintegrale.

Le tre forme più comuni sono:

• Il differintegrale di Riemann–Liouville

Questo è il più semplice e facile da usare, e di conseguenza è spesso il più usato. È una generalizzazione della formula di Cauchy per integrazioni ripetute ad un ordine arbitrario.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

• Il differintegrale di Grunwald–Letnikov

Questo differintegrale è la diretta generalizzazione della definizione di derivata. È molto più difficile da usare del differintegrale di Riemann–Liouville, ma qualche volta viene usato per risolvere problemi che quest'ultimo non può.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$

• Il differintegrale di Weyl

Formalmente è simile a quello di Riemann–Liouville, ma applicato generalmente a funzioni periodiche, con integrale zero su un periodo.

Richiamando la trasformata di Fourier, qui denotata con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ :

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$

Con tale trasformata, nello spazio di Fourier, la derivata si trasforma in una moltiplicazione:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$

Pertanto,

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$

che si generalizza a

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

Sotto la trasformata di Laplace, indicata con ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, la derivata si trasforma ancora in una moltiplicazione

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

Generalizzando ad un ordine arbitrario e risolvendo in ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$, si ottiene

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

Linearità

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$

Regola dello zero

${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f\,}$

Regola del prodotto

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$

In generale, la regola della composizione (o del semigruppo) non è soddisfatta^[1]:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$

• "An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations", by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor), John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9.
• "The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V)", by Keith B. Oldham, Jerome Spanier, Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0.
• "Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications", (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny, Academic Press (October 1998). ISBN 0-12-558840-2.
• "Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics", by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor), Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X.
• Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
• Fractional Derivatives for Physicists and Engineers by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
• "Physics of Fractal Operators", by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini, Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2

• Formula di Cauchy per integrazioni ripetute
• Matematica applicata
• Trasformata di Fourier

• MathWorld – Fractional calculus
• MathWorld – Fractional derivative
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Progress in Fractional Differentiation and Applications
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Specialized journal: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA) Archiviato il 3 maggio 2018 in Internet Archive.
• http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• Podlubny, I., Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 5, no. 4, 2002, 367–386. (available as original article Archiviato il 7 aprile 2006 in Internet Archive., or preprint at Arxiv.org)
• Operator of fractional derivative in the complex plane, by P. Zavada in Commun.Math.Phys. 192 (1998) 261-285, or available as the arXiv e-Print