Dimensione frattale

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con ${\displaystyle D}$ è una quantità che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di celle (box counting) per la sua semplice implementazione.

Un metodo per generare una struttura frattale è quello di moltiplicare un oggetto unitario ripetendolo più e più volte (figura 1). Un altro metodo, che è utilizzato in questa voce, è costruire la sottosuccessione di divisione della struttura originale (figura 2).

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare 1 nella dimensione euclidea ${\displaystyle D}$, e si riduce la sua dimensione lineare di un fattore ${\displaystyle 1/l}$ in ogni direzione spaziale, esso utilizza ${\displaystyle N=l^{D}}$ oggetti simili per ricostruire l'oggetto originale (figura 1).

La dimensione frattale è quindi definita da:

${\displaystyle D=-{\frac {\log N(l)}{\log l}}}$

(dove il logaritmo può essere di qualsiasi base) è ancora uguale alla sua dimensione topologica ed euclidea.^[1] Applicando l'equazione precedente alla struttura frattale, si può ottenere la dimensione frattale di tale struttura:

${\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}$

dove ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ indica la similarità della struttura lineare ${\displaystyle \varepsilon }$ che serve per ricoprire l'intera struttura.

Ad esempio, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski rappresentato in figura 2, è

${\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,585.}$

• Dimensione di Hausdorff
• Dimensione di Minkowski-Bouligand
• Lista di frattali per dimensione di Hausdorff

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla dimensione frattale

• (EN) fractal dimension, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) IUPAC Gold Book, "fractal dimension", su goldbook.iupac.org.
• TruSoft's Benoit - Programma per l'analisi frattale, su trusoft-international.com.
• Stimatore per dimensione frattale in Java, su stevec.org.