Equazione di Lagrange

In matematica, l'equazione di Lagrange, anche nota come equazione di d'Alembert o equazione di d'Alembert-Lagrange, che prende il nome da Jean d'Alembert e Joseph Louis Lagrange, è un'equazione differenziale del primo ordine della forma:

y=xf(y')+g(y')

dove $f$ e $g$ sono funzioni reali derivabili note. La precedente è talvolta ottenuta riducendo (se possibile) l'equazione:

h(y')=x\,f(y')+y\,g(y')

Un caso particolare è l'equazione di Clairault.

Metodo risolutivo

Ponendo $y'=z$ , si riscrive:

y=xf(z)+g(z)

Derivando rispetto a $x$ , si ottiene:

z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]

Se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici $z_{1},\cdots ,z_{n}$ , la funzione $z'$ è nulla per quei valori. Si hanno quindi delle soluzioni particolari:

y=z_{k}x+g(z_{k})\qquad k\in \{1,\cdots ,n\}

Laddove $f(z)$ è diversa da $z$ , si può riscrivere l'equazione derivata come:

{\frac {dx}{dz}}=x{\frac {f'(z)}{z-f(z)}}+{\frac {g'(z)}{z-f(z)}}\qquad *

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in $x$ , la cui soluzione può essere ricercata con i metodi usuali. Sia $x=h(z,C)$ tale soluzione; allora la soluzione parametrica dell'equazione di d'Alembert è:

\left\{{\begin{matrix}&{x=h(z,C)}\\&{y=f(z)h(z,C)+g(z)}\qquad **\\\end{matrix}}\right.

Esempio

Sia dato:

y=xy'^{2}+{\frac {3}{2}}y'^{2}-y'^{3}

Per trovare le soluzioni di $z-f(z)$ :

z-z^{2}=0\Rightarrow z\in \{0,1\}

le soluzioni particolari sono:

\left\{{\begin{matrix}&{y=0}\\&{y=x+{\frac {1}{2}}}\\\end{matrix}}\right.

Applicando la $*$ si ottiene la scrittura:

{\frac {dx}{dz}}={\frac {2x}{1-z}}+3{\frac {z-z^{2}}{z-z^{2}}}

la cui soluzione è:

x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}

Sostituendo nella $**$ si ha:

\left\{{\begin{matrix}&{x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}\\&{y=z^{2}\left(z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}\right)+{\frac {3}{2}}z^{2}-z^{3}}\\\end{matrix}}\right.

È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale

z={}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}+{\frac {x^{2}}{9{}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}}}+{\frac {1}{3}}(x+3)

È evidente il motivo per cui, a parte fortunate eccezioni, si preferisce lasciare le soluzioni come parametriche.

Bibliografia

(EN) J.L. Lagrange, "Sur l'intégration d'une équation différentielle" J.A. Serret (ed.) , Oeuvres , 1 , G. Olms, reprint (1973) pp. 21–36
(EN) W.W. Stepanow, "Lehrbuch der Differentialgleichungen" , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956)

Voci correlate

Equazione di Clairault

Collegamenti esterni

(EN) Equazione di Lagrange, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.