Formula di Feynman-Kac

In matematica, la formula di Feynman-Kac, il cui nome si deve ai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac, è un'equazione che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE) utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici.

Equazione omogenea

Si consideri una PDE nella forma

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)=0,

sotto la condizione terminale

f(x,T)=\psi (x),

dove $\mu$ , $\sigma$ e $\psi$ sono funzioni note, e $f$ è incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso

f(x,t)={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right],

dove $X$ è un processo di Itō caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica

dX=\mu (X,t)dt+\sigma (X,t)dW_{t}

.

Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

Dimostrazione

La verifica della correttezza della soluzione procede applicando il lemma di Itō alla funzione incognita $f$ . Si ha

df(x,t)=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)\right)dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dW_{t}.

Il primo termine tra parentesi è la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo. Integrando ambo i membri dell'espressione restante si ottiene

\int _{t}^{T}df(x,t)=f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t},

da cui, riorganizzando i termini e prendendo il valore atteso di ambo i membri

f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dW_{t}\right]

Poiché il valore atteso di un integrale di Itō rispetto al moto browniano $W_{t}$ è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:

f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right]

Estensione 1

La soluzione sopra illustrata può essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-k(t)f(x,t)=0

sotto la condizione terminale

\ f(x,T)=\psi (x)

ha per soluzione:

f(x,t)={\textrm {E}}\left[\exp \left\{-\int _{t}^{T}k(u)du\right\}\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].

La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itō è applicato alla funzione

g(x,t)=f(x,t)\exp \left\{\int _{t}^{T}k(u)du\right\}.

La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.

Estensione 2

Si consideri la PDE

{\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)f(x,t)+u(x,t)=0,

definita per ogni $x\in \mathbb {R}$ e ogni $t\in [0,T]$ , soggetta alla condizione:

f(x,T)=\psi (x),

dove $\mu ,\sigma ,\psi ,V,u$ , sono funzioni note, $T$ è un parametro e $f:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R}$ l'incognita. La formula di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso condizionato

f(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]

rispetto alla misura di probabilità $Q$ , tale per cui $X$ è un processo di Itō (processo di Wiener generalizzato) definito dall'equazione:

dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q}

dove $W^{Q}(t)$ è un processo di Wiener (moto browniano) e la condizione iniziale per $X(t)$ è $X(0)=x$ .

Derivazione

Sia $f(x,t)$ una soluzione dell'equazione. Applicando il lemma di Itō al processo:

Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr

si ottiene:

dY=de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,df(X_{s},s)+de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }df(X_{s},s)+d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr

Dal momento che:

de^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds

il terzo termine è $o(dtdu)$ e può essere trascurato. Si ha inoltre che:

d\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)ds

Applicando nuovamente il lemma di Itō a $du(X_{s},s)$ segue che $dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)f(X_{s},s)+u(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial f}{\partial X}}+{\frac {\partial f}{\partial s}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}f}{\partial X^{2}}}\right)\,ds+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW$ Il primo termine contiene tra parentesi la PDE iniziale, ed è quindi nullo. Rimane

dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW.

Integrando questa equazione da $t$ a $T$ si conclude che

Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial f}{\partial X}}\,dW

Prendendo il valore atteso (condizionato su $X_{t}=x$ ) e osservando che il membro alla destra è un integrale di Itō, che ha valore atteso nullo, segue che:

E[Y(T)|X_{t}=x]=E[Y(t)|X_{t}=x]=f(x,t)

Il risultato cercato si ottiene osservando che

E[Y(T)|X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{r},r)dr{\Bigg |}X_{t}=x\right]

ed infine:

f(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )d\tau }u(X_{s},s)ds{\Bigg |}X_{t}=x\right].

Bibliografia

(EN) Barry Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979.
(EN) B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013.
(EN) Huyên Pham, Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications, Springer-Verlag, 2009.