Funzioni di Anger

In matematica, le funzioni di Anger sono funzioni speciali introdotte da C. T. Anger nel 1855. Si tratta di soluzioni dell'equazione di Bessel:

${\displaystyle z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi }$

Le funzioni di Anger ${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)}$ sono definite dall'integrale:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )}$

Per ${\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }$ la funzione di Anger è semplicemente la funzione di Bessel ${\displaystyle J_{n}(z)}$.

Le funzioni di Anger sono soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea (equazione di Bessel):

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+z{\frac {dw}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})w={\frac {(z-\nu )\sin(\nu \pi )}{\pi }}}$

Si possono esprimere le funzioni di Anger con le funzioni di Lommel:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}s_{0,\nu }(z)-{\frac {\nu \sin(\pi \nu )}{\pi }}s_{-1,\nu }(z)}$

e con le funzioni di Weber:

${\displaystyle \sin(\nu \pi )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\nu \pi )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)}$

• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) p. 498.
• (EN) G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 309-319.
• (EN) R. B. Paris Anger-Weber functions Digital Library of Mathematical Functions

• Equazioni di Bessel
• Funzioni di Lommel
• Funzioni di Weber
• Funzioni di Struve
• Funzioni di Struve modificate

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• (EN) A.P. Prudnikov, Anger function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.