Gruppo abeliano finitamente generato

In algebra astratta, un gruppo abeliano $(G,+)$ si dice finitamente generato se esiste un numero finito di elementi $x_{1},\dots ,x_{s}\in G$ tale che ogni elemento di $G$ può essere scritto come combinazione lineare a coefficienti interi di tali elementi, cioè per ogni $g\in G$ esistono $k_{1},\dots ,k_{s}\in \mathbb {Z}$ tali che $g=k_{1}x_{1}+\dots +k_{s}x_{s}$ . In altri termini, $G$ è uno $\mathbb {Z}$ -modulo e $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$ ne è un insieme di generatori.

I gruppi abeliani finitamente generati sono analoghi a spazi vettoriali di dimensione finita, ma a differenza di questi ultimi non hanno necessariamente una base. Se il sottogruppo di torsione non è banale, cioè esistono elementi di ordine finito, la base non può esistere^[1]. In caso contrario, una base esiste e il gruppo è detto gruppo abeliano libero (cioè uno $\mathbb {Z}$ -modulo libero).

I gruppi abeliani finiti sono un caso particolare di gruppi abeliani finitamente generati.

Esempi

Il gruppo dei numeri interi $(\mathbb {Z} ,+)$ è abeliano finitamente generato.
Il gruppo dei numeri interi modulo $n$ $(\mathbb {Z} _{n},+)$ ^[2] è abeliano finitamente generato.
Il prodotto diretto di un numero finito di gruppi abeliani finitamente generati è abeliano finitamente generato.

A meno di isomorfismo, gli unici gruppi abeliani finitamente generati sono di una di queste tre tipologie. In altre parole, sono isomorfi a prodotti diretti di un numero finito di gruppi ciclici di ordine infinito e gruppi ciclici di ordine finito. Il teorema fondamentale descrive questo risultato in termini più precisi. Alcuni casi particolari sono:

I reticoli di rango $r$ , isomorfi a $\mathbb {Z} ^{r}:=\underbrace {\mathbb {Z} \times \dots \times \mathbb {Z} } _{r\,{\text{volte}}}$ .
I gruppi ciclici di ordine $n$ , isomorfi a $\mathbb {Z} _{n}$ .

Classificazione

Il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati descrive la struttura di tali gruppi in due possibili forme, entrambe prodotto diretto^[3] di un numero finito di copie di $\mathbb {Z}$ e di un numero finito di gruppi ciclici di ordine finito.

La decomposizione primaria è:

$G\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} _{p_{1}^{\alpha _{1}}}\times \dots \times \mathbb {Z} _{p_{t}^{\alpha _{t}}}$

dove $r\geq 0$ è chiamato rango, e i numeri $p_{1}^{\alpha _{1}},\dots ,p_{t}^{\alpha _{t}}$ sono potenze di numeri primi, non sono necessariamente distinti, e sono chiamati divisori elementari.

La decomposizione per invarianti è

$G\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} _{m_{1}}\times \dots \times \mathbb {Z} _{m_{u}}$

dove $r\geq 0$ (rango) e i numeri $m_{1},\dots ,m_{u}$ sono $\geq 2$ , dividono ciascuno il successivo, cioè $m_{i}|m_{i+1}$ per $i=1,\dots ,u-1$ , e sono detti invarianti o coefficienti di torsione.

Unicità e equivalenza

Entrambe le rappresentazioni sono uniche a meno dell'ordine dei fattori, perciò $r,p_{1}^{\alpha _{1}},\dots ,p_{t}^{\alpha _{t}}$ e $m_{1},\dots ,m_{u}$ sono univocamente determinati a partire dal gruppo $G$ . Inoltre, le due decomposizioni sono equivalenti: per passare da una all'altra, è sufficiente fattorizzare gli invarianti in potenze di primi, o viceversa raggruppare le potenze di primi in invarianti, e utilizzare^[4] il teorema cinese del resto.

Dimostrazione

L'idea della dimostrazione consiste nel considerare l'omomorfismo che manda tuple di "coordinate" nelle rispettive combinazioni lineari di generatori. Cioè, fissato l'insieme di generatori $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$ , si considera l'omomorfismo ${\displaystyle \phi$ definito da $\phi (k_{1},\dots ,k_{s})=k_{1}x_{1}+\dots +k_{s}x_{s}$ . Questo è un isomorfismo se e solo se l'insieme di generatori è una base (cioè quando $G$ è un gruppo abeliano libero).

Nel caso generale, si considera il nucleo di $\phi$ , che è un sottogruppo di $G$ , e un suo insieme di generatori. Costruita la matrice che ha come righe tali generatori, si effettuano le seguenti operazioni elementari su righe e colonne^[5]:

scambiare due righe (o colonne) tra loro
cambiare il segno di una riga (o colonna)
aggiungere un multiplo intero di una riga (colonna) a un'altra riga (colonna)

Seguendo questa procedura si trova una matrice diagonale, chiamata forma normale di Smith, i cui elementi della diagonale consistono, in ordine, di un certo numero di $1$ , di un certo numero di $m_{i}\geq 2$ tali che $m_{i}|m_{i+1}$ , e di un certo numero di $0$ . Ne segue che $\ker \phi \cong \underbrace {\mathbb {Z} \times \dots \times \mathbb {Z} } _{s-(u+r)\,{\text{volte}}}\times m_{1}\mathbb {Z} \times \dots \times m_{u}\mathbb {Z} \times \underbrace {\{0\}\times \dots \times \{0\}} _{r\,{\text{volte}}}$ .

Allora, per il primo teorema di isomorfismo, $G\cong \mathbb {Z^{s}} /\ker \phi \cong \mathbb {Z} _{m_{1}}\times \dots \times \mathbb {Z} _{m_{u}}\times \mathbb {Z} ^{r}$ .

Conseguenze e generalizzazioni

Ogni gruppo abeliano finitamente generato si spezza nel prodotto diretto del suo sottogruppo di torsione, che è prodotto diretto di gruppi ciclici finiti, e del gruppo abeliano libero $\mathbb {Z} ^{r}$ .
Un gruppo abeliano libero è sempre isomorfo a $\mathbb {Z} ^{r}$ per un certo $r\in \mathbb {N}$ , poiché il suo sottogruppo di torsione è banale. Tuttavia, un gruppo il cui sottogruppo di torsione è banale, non è necessariamente abeliano libero, a meno che non sia finitamente generato. Un controesempio è infatti $\mathbb {Q}$ .
Un gruppo finito è sempre isomorfo a un prodotto diretto di gruppi ciclici finiti, poiché coincide con il suo sottogruppo di torsione. In altre parole, il teorema precedente generalizza il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finiti.
Il teorema è generalizzato dal teorema fondamentale dei moduli finitamente generati su domini a ideali principali.

Note

↑ Poiché in tal caso i generatori non possono essere linearmente indipendenti. Infatti, se $nx=0$ per un certo $n\in \mathbb {Z}$ , e $x=\sum _{i}k_{i}x_{i}$ , allora $\sum _{i}nk_{i}x_{i}=0$ , dove i coefficienti $nk_{i}$ sono non tutti nulli.
↑ Tale gruppo può essere denotato anche $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , ma per compatezza si preferisce la prima notazione in questo articolo.
↑ Poiché i gruppi abeliani seguono la notazione additiva, si può parlare equivalentemente di somma diretta.
↑ $\mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\times \mathbb {Z} _{k}$ , per $j$ e $k$ coprimi.
↑ Le operazioni su righe consistono nel trovare nuovi generatori per il nucleo, mentre quelle su colonne consistono in un cambio di variabili in $\mathbb {Z} ^{s}$ .

Bibliografia

David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3ª ed., Wiley, 2004, ISBN 0-471-43334-9.
John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 7ª ed., Pearson, 2003, ISBN 0201763907.

Voci correlate

[1] Poiché in tal caso i generatori non possono essere linearmente indipendenti. Infatti, se $nx=0$ per un certo $n\in \mathbb {Z}$ , e $x=\sum _{i}k_{i}x_{i}$ , allora $\sum _{i}nk_{i}x_{i}=0$ , dove i coefficienti $nk_{i}$ sono non tutti nulli.

[2] Tale gruppo può essere denotato anche $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , ma per compatezza si preferisce la prima notazione in questo articolo.

[3] Poiché i gruppi abeliani seguono la notazione additiva, si può parlare equivalentemente di somma diretta.

[foot01-4] $\mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\times \mathbb {Z} _{k}$ , per $j$ e $k$ coprimi.

[5] Le operazioni su righe consistono nel trovare nuovi generatori per il nucleo, mentre quelle su colonne consistono in un cambio di variabili in $\mathbb {Z} ^{s}$ .

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