Implicazione inversa

Nella logica e nella matematica, la inversione di un'affermazione categoriale o implicazionale è il risultato dell'inversione delle sue due affermazioni costituenti. Per l'implicazione P → Q, il contrario è Q → P. Per la proposizione categorica "Ogni S è P", il contrario è "Ogni P è S". In ogni caso, la verità del contrario è generalmente indipendente da quella dell'affermazione originale.^[1]

Sia S una proposizione della forma P implica Q (P → Q). Allora l'inverso di S è l'affermazione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo inverso^[2], a meno che l'antecedente P e la conseguente Q non siano logicamente equivalenti.

Ad esempio, si consideri la vera affermazione "Se sono un umano, allora sono mortale". Il contrario di tale affermazione è "Se sono mortale, allora sono un umano", il che non è necessariamente vero.

Resta invece vero il contrario di un enunciato quando i termini si includono a vicenda, data la verità della proposizione originaria. Ciò equivale a dire che è vero il contrario di una definizione. Pertanto, l'affermazione "Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati" è logicamente equivalente a "Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo", perché la definizione di "triangolo" è "poligono a tre lati". I due termini intermedi "triangolo" e "poligono a tre lati" si appartengono reciprocamente e sono quindi tra loto equivalenti.

Una tavola di verità chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftarrow Q}$ (inversione)
Vero	Vero	Vero	Vero
Vero	Falso	Falso	Vero
Falso	Vero	Vero	Falso
Falso	Falso	Vero	Vero

L'errore di affermare il conseguente consiste nel passare da un enunciato al suo contrario. Tuttavia, se l'affermazione S e il suo inverso sono equivalenti (cioè, P è vero se e solo se anche Q è vero), allora sarà valido affermare anche il conseguente.

L'implicazione inversa è logicamente equivalente alla disgiunzione di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle \neg Q}$:

${\displaystyle P\leftarrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle \neg Q}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

Nel linguaggio naturale, questo potrebbe essere reso "non Q senza P ".

In matematica, l'inverso di un teorema della forma P → Q sarà Q → P. Il contrario può o non può essere vero, e anche qualora sia vero, la dimostrazione può risultare difficile. Ad esempio, il teorema dei quattro vertici è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.^[3]

In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell'antecedente possono essere assunti per stabilire il contesto: il contrario di "Dato P, se Q allora R "sarà "Dato P, se R allora Q". Ad esempio, il teorema di Pitagora può essere affermato come:

Dato un triangolo con i lati a e b, e lunghezza c, se l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto, allora ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Il contrario, che appare anche negli Elementi di Euclide (Libro I, proposizione 48), può essere affermato come:

Dato un triangolo con i lati di lunghezza a e b e base di lunghezza c, se ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, allora l'angolo opposto al lato della lunghezza c'è un angolo retto.

Inversione di una relazione

Se ${\displaystyle R}$ è una relazione binaria con ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$, allora la relazione inversa ${\displaystyle R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R}$ è detta trasposta.^[4]

La inversione di un’implicazione P → Q può essere scritta ${\displaystyle P\leftarrow Q}$, ma può anche esser denotata come ${\displaystyle P\subset Q}$, oppure "Bpq" (nella notazione di Józef Maria Bocheński).

Nella logica tradizionale, si dice inversione il processo che porta a sostituire il termine soggetto con il termine predicato. Ad esempio, "Nessun S è P" si inverte in "Nessun P è S". Nelle parole di Asa Mahan:

L'"exposita" è più comunemente chiamata invertenda (lett. proposizione che deve essere invertita). Nella sua forma semplice, la inversione vale solo per le proposizioni di tipo E ed I^[6]:

La validità della semplice inversione solo per le proposizioni E e I può essere espressa dalla restrizione che "Nessun termine deve essere distribuito nell'inversa che non sia già distribuito nella invertenda".^[7] Per le proposizioni di tipo E sia il soggetto che l predicato sono distribuiti^[8], mentre nelle proposizioni di tipo I non lo sono né il soggetto né il predicato.

Per le proposizioni di tipo A, il soggetto è distribuito mentre il predicato non lo è, e quindi l'inferenza da un'affermazione A al suo contrario non è valida. Ad esempio, per la proposizione A "Tutti i gatti sono mammiferi", il contrario "Tutti i mammiferi sono gatti" è ovviamente falso. Tuttavia, l'affermazione più debole "Alcuni mammiferi sono gatti" è vera. I logici definiscono inversione per accidens il processo di produzione di questa affermazione più debole. L'inferenza da un'affermazione al suo inverso per accidens è generalmente valida. Tuttavia, come per i sillogismi, questo passaggio dall'universale al particolare causa problemi con le categorie vuote: "Tutti gli unicorni sono mammiferi" è spesso considerato vero, mentre l'inversione per accidens "Alcuni mammiferi sono unicorni" è chiaramente falsa.

Nel calcolo dei predicati del primo ordine, la proposizione "Ogni S è P" può essere rappresentata come ${\displaystyle \forall x.S(x)\to P(x)}$.^[9] È quindi chiaro che l'inverso categoriale è strettamente correlato all'inverso implicazionale e che S e P non sono intercambiabili nella proposizione "Ogni S è P".

Ulteriori letture

• Aristotele. Organon.
• Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
• Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.

• Aristotele
• Inferenza
• Connettivo logico
• Sillogismo
• Non-implicazione inversa

• Implicazione inversa, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) converse, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Converse, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Denis Howe, converse, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL