Insieme polare

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un insieme polare di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un insieme nello spazio duale che soddisfa determinate proprietà.

Si definisce coppia duale una tripla composta da due spazi vettoriali ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sullo stesso campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (dei numeri reali o complessi) e da una forma bilineare ${\displaystyle \langle ,\rangle :X\times Y\to \mathbb {F} }$ tale che:

• ${\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0}$
• ${\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}$

Due elementi ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle y\in Y}$ sono ortogonali se ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$, mentre due insiemi ${\displaystyle M\subseteq X}$ e ${\displaystyle N\subseteq Y}$ sono ortogonali se ogni coppia di elementi in ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ è formata da vettori ortogonali fra loro.

L'insieme polare di un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle X}$ è l'insieme ${\displaystyle A^{\circ }}$ in ${\displaystyle Y}$ definito come:

${\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}$

L'insieme detto insieme bipolare di un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle X}$ è il polare in ${\displaystyle X}$ di ${\displaystyle A^{\circ }}$, e si denota con ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$.

• ${\displaystyle A^{\circ }}$ è assolutamente convesso
• Se ${\displaystyle A\subseteq B}$ allora ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ }}$
• ${\displaystyle (\gamma A)^{\circ }={\frac {1}{\mid \gamma \mid }}A^{\circ }\qquad \forall \gamma \neq 0}$
• ${\displaystyle (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }}$
• Per una coppia duale ${\displaystyle (X,Y)}$, ${\displaystyle A^{\circ }}$ è chiuso in ${\displaystyle Y}$ rispetto alla topologia debole* su ${\displaystyle Y}$.
• Il bipolare ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ di ${\displaystyle A}$ è l'inviluppo assolutamente convesso di ${\displaystyle A}$, ovvero il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ è già assolutamente convesso allora ${\displaystyle A^{\circ \circ }=A}$.

• (EN) C.D. Aliprantis e K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3ª ed., Springer, 2007, p. 215, DOI:10.1007/3-540-29587-9, ISBN 978-3-540-32696-0.

• Forma bilineare
• Spazio duale
• Topologia polare

• Antonio Marigonda - Note sul seminario del prof. Vladimir V. Goncharov per il corso di analisi funzionale (PDF), su profs.sci.univr.it.