Esempi
Un insieme è detto numero ordinale se è transitivo e totalmente ordinato dall'appartenenza. La classe di tutti gli ordinali è una classe transitiva.
Uno qualsiasi dei livelli 
e 
che portano alla costruzione dell'universo di von Neumann 
e dell'universo costruibile di Gödel 
sono insiemi transitivi. Gli universi e sono essi stessi classi transitive.
Quello che segue è un elenco completo di tutti gli insiemi transitivi finiti con un massimo di 20 parentesi:[1]
Proprietà
Un insieme 
è transitivo se e solo se 
, dove 
è l'unione di tutti gli elementi di che sono insiemi, 
.
Se è transitivo, anche è transitivo.
Se e 
sono transitivi, 
e 
sono transitivi. In generale, se 
è una classe i cui elementi sono insiemi transitivi, allora 
e 
sono transitivi. (La prima affermazione di questo paragrafo si ottiene nel caso di 
.)
Un insieme che non contiene Ur-elementi è transitivo se e solo se è un sottoinsieme del proprio insieme potenza, 
L'insieme potenza di un insieme transitivo senza Ur-elementi è transitivo.
Chiusura transitiva
La chiusura transitiva 
di un insieme è il più piccolo insieme transitivo che contiene come sottoinsieme, 
.[2] Dato l'insieme , la sua chiusura transitiva risulta essere
Infatti, denotando 
e 
, vogliamo mostrare che l'insieme
è transitivo e che per ogni 
insieme transitivo che contiene 
come sottoinsieme, si abbia 
.
Mostriamo che 
è transitivo. Siano 
. Ma allora esiste 
tale che 
e pertanto 
. Poiché 
, si ha 
e 
è transitivo.
Sia ora come sopra. Mostriamo per induzione che 
per ogni 
e dunque che . Il caso base vale essendo per ipotesi 
. Ora supponiamo . Allora 
. Ma è transitivo, quindi 
e dunque 
. Questo completa la dimostrazione.
Modelli transitivi della teoria degli insiemi
