Integrale di superficie

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).}$

Sia ${\displaystyle f\colon S(D)\to \mathbb {R} }$ una funzione definita su ${\displaystyle S}$. Ad ogni punto ${\displaystyle (u,v)\in D}$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:^[2]

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{3}}$

dove i vettori ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ sono gli elementi della base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Si definisce integrale di superficie di ${\displaystyle f}$ sulla superficie ${\displaystyle S(D)}$ la scrittura:^[3]

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.}$

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))}}\right)}$

è l'elemento di superficie normale a ${\displaystyle S}$. Inoltre

${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i},x_{j})}{\partial (u,v)}}={\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial v}}-{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial v}}.}$

Se ${\displaystyle f=1,}$ l'integrale fornisce l'area della superficie:

${\displaystyle A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.}$

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).}$

Sia

${\displaystyle \omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y}$

una 2-forma definita su ${\displaystyle S}$. Si definisce integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\omega (S(u,v))[J_{S}(u,v)]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\int _{D}\left[\omega _{x}(S(u,v)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+\omega _{y}(S(u,v)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+\omega _{z}(S(u,v)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.}$

Interpretando la 2-forma ${\displaystyle \omega }$ come un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} =(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$ definito su ${\displaystyle S}$ si ha:

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove ${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {N} (u,v)}{|\mathbf {N} (u,v)|}}}$ è il versore normale alla superficie.