Interpolazione di Lagrange

In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.

Data una funzione ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle n+1}$ punti ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ per cui sono noti i valori ${\displaystyle f(a_{0}),f(a_{1}),f(a_{2}),\ldots ,f(a_{n})}$ si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione ${\displaystyle f}$ il polinomio

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f(a_{i})\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}}.}$

Per ogni ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ si ha ${\displaystyle P(a_{i})=f(a_{i})}$ e per qualsiasi ${\displaystyle x}$ si ha

${\displaystyle f(x)=P(x)+{\frac {1}{n!}}\prod _{i=1}^{n}{(x-a_{i})}f^{(n)}(\xi ),}$

dove ${\displaystyle \xi }$ è un valore incognito funzione di ${\displaystyle x}$ appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti ${\displaystyle a_{1},a_{2}...a_{n}}$ e ${\displaystyle x}$.

Per semplicità scriviamo

${\displaystyle p_{n}(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}).}$

Per cui

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=1}^{n}{f(a_{i})g_{i}(x)},}$

dove

${\displaystyle g_{i}(x)={\frac {p_{n}(x)}{(x-a_{i})p_{n}'(a_{i})}}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}.}$

Si ha che ${\displaystyle g_{i}(a_{j})=0}$ per ogni ${\displaystyle i\neq j}$ poiché l'espressione di ${\displaystyle g_{i}(x)}$ contiene un fattore ${\displaystyle x-a_{j}}$ al numeratore. Ma ${\displaystyle g_{i}(a_{i})=1}$ per ogni ${\displaystyle i}$ da cui ${\displaystyle P(a_{i})=f(a_{i})}$.

Considerando la funzione

${\displaystyle F(z)=f(z)-P(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}(z)}{p_{n}(x)}},}$

quando ${\displaystyle x\neq a_{i}}$ per ogni ${\displaystyle i}$, essa ha ${\displaystyle n+1}$ zeri nei punti ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ e ${\displaystyle x}$, derivando ${\displaystyle n}$ volte,

${\displaystyle F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}^{(n)}(z)}{p_{n}(x)}}.}$

Dall'applicazione del teorema di Rolle per ${\displaystyle n}$ volte la funzione ${\displaystyle F^{(n)}(z)}$ ha almeno uno zero ${\displaystyle \xi }$ nell'intervallo minimo che contiene ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ e ${\displaystyle x}$.

Poiché ${\displaystyle p_{n}(x)}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle n}$ il cui coefficiente di ${\displaystyle x^{n}}$ è 1, per cui ${\displaystyle p_{n}^{(n)}(x)=n!}$, invece ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio di grado ${\displaystyle n-1}$ per cui ${\displaystyle P^{(n)}(x)=0}$. Infine

${\displaystyle F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}},}$

${\displaystyle 0=F^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}},}$

da cui

${\displaystyle f(x)-P(x)={\frac {p_{n}(x)}{n!}}f^{(n)}(\xi ).}$

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su interpolazione di Lagrange

• (EN) Eric W. Weisstein, Lagrange Interpolating Polynomial, su MathWorld, Wolfram Research.