Matrice di Cartan

In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ e intera con entrate tali che:

1. per entrate diagonali ${\displaystyle a_{ii}=2;}$
2. per entrate non diagonali ${\displaystyle a_{ij}\leq 0;}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ se e solo se ${\displaystyle a_{ji}=0;}$
4. ${\displaystyle A}$ può essere scritta come ${\displaystyle DS}$, dove ${\displaystyle D}$ è una matrice diagonale e ${\displaystyle S}$ è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice ${\displaystyle D}$ con entrate diagonali positive. In tal caso, se ${\displaystyle S}$ nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora ${\displaystyle A}$ è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

${\displaystyle a_{ij}={\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}},}$

dove ${\displaystyle r_{i}}$ sono le radici semplici dell'algebra. Gli elementi sono interi per una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per ${\displaystyle i\neq j}$, il vettore

${\displaystyle v_{r_{i}}(r_{j})=r_{j}-{\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}\,r_{i}}$

è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici ${\displaystyle r_{i}}$ e ${\displaystyle r_{j}}$ con un coefficiente positivo per ${\displaystyle r_{i}}$ e quindi il coefficiente per ${\displaystyle r_{i}}$ deve essere non negativo.

La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano ${\displaystyle D_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{(r_{i},r_{i})}}}$ e ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice ${\displaystyle S}$ è definita positiva.

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensione finita ${\displaystyle A}$ che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.

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• Diagramma di Dynkin
• Algebra di Lie
• Teoria dei gruppi

• (EN) Eric W. Weisstein, Cartan Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.