Metodo di Prony

L'analisi di Prony (anche nota come metodo di Prony) fu sviluppata da Gaspard Riche de Prony nel 1795. Tuttavia, un utilizzo pratico del metodo ha dovuto attendere l'avvento del computer.^[1]

Simile alla trasformata di Fourier, il metodo di Prony estrae informazioni preziose da un segnale campionato uniformemente e costruisce una serie di esponenziali complessi smorzati o sinusoidi smorzate. Ciò consente la stima della frequenza, dell'ampiezza, della fase e delle componenti di smorzamento di un segnale.

Sia ${\displaystyle f(t)}$ un segnale costituito da ${\displaystyle N}$ campioni uniformemente distanziati. Il metodo di Prony adatta una funzione:

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})}$

alla funzione osservata ${\displaystyle f(t)}$. Dopo alcune manipolazioni utilizzando la formula di Eulero, si ottiene il seguente risultato, che consente un calcolo più diretto dei termini:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{-}t}\right),\end{aligned}}}$

dove:

${\displaystyle \lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}}$ sono the autovalori del sistema,

${\displaystyle \sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}}$ sono le componenti di smorzamento,

${\displaystyle \omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}}$ sono le componenti di frequenza angolare,

${\displaystyle \phi _{i}}$ sono le componenti di fase,

${\displaystyle A_{i}}$ sono le componenti di ampiezza della serie,

${\displaystyle j}$ è l'unità imaginaria (${\displaystyle j^{2}=-1}$).

Il metodo di Prony è essenzialmente una decomposizione di un segnale con ${\displaystyle M}$ esponenziali complessi tramite il seguente processo:

Campionare regolarmente ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ in modo che l' ${\displaystyle n}$ -esimo di ${\displaystyle N}$ campioni possa essere scritto come:

${\displaystyle F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.}$

Se ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ appare costituita da sinusoidi smorzate, allora ci saranno coppie di esponenziali complessi tali che:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{i}^{(1)}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{i}^{(2)}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{i}^{(1)}&=\sigma _{i}+j\omega _{i},\\\lambda _{i}^{(2)}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}}$

dove:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{i}^{(1)}e^{\lambda _{i}^{(1)}t}+\mathrm {B} _{i}^{(2)}e^{\lambda _{i}^{(2)}t}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}}$

Poiché la sommatoria di esponenziali complessi è la soluzione omogenea di un'equazione differenziale lineare, allora esisterà la seguente equazione differenziale:

${\displaystyle {\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(n-m)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.}$

La chiave del metodo di Prony è che i coefficienti nell'equazione alle differenze sono correlati al seguente polinomio:

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right).}$

Questi fatti portano ai seguenti tre passaggi all'interno del metodo di Prony:

1) Costruisci e risolvi l'equazione della matrice per ${\displaystyle P_{m}}$ valori:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.}$

Nota che se ${\displaystyle N\neq 2M}$, potrebbe essere necessaria una matrice inversa generalizzata per trovare i valori ${\displaystyle P_{m}}$ .

2) Dopo aver trovato il ${\displaystyle P_{m}}$ valori, trovare le radici (numericamente, se necessario) del polinomio:

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}.}$

La ${\displaystyle m}$ -esima radice di questo polinomio sarà uguale a ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$ .

3) Con il ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$ valori, il ${\displaystyle F_{n}}$ i valori fanno parte di un sistema di equazioni lineari che possono essere utilizzate per risolvere il ${\displaystyle \mathrm {B} _{m}}$ valori:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},}$

Dove ${\displaystyle M}$ valori unici ${\displaystyle k_{i}}$ vengono utilizzati. È possibile utilizzare una matrice inversa generalizzata se più di ${\displaystyle M}$ vengono utilizzati campioni.

Nota che la risoluzione per ${\displaystyle \lambda _{m}}$ produrrà ambiguità, dato che solo ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$ è stato risolto, e ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}}$ per un numero intero ${\displaystyle q}$ . Ciò porta allo stesso criterio di campionamento di Nyquist a cui sono soggette le trasformate di Fourier discrete, ovvero:

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}.}$

• Calcolo della decomposizione di Prony mediante analisi di autoregressione
• Applicazione della decomposizione di Prony nell'analisi tempo-frequenza

• R. Carriere e R. L. Moses, High resolution radar target modeling using a modified Prony estimator, in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 40, 1992, pp. 13–18, DOI:10.1109/8.123348.
• V. I. Slyusar, Interpretation of the Proni method for solving long-range problems (PDF), in Radioelectronics and Communications Systems, vol. 41, n. 1, 1998, pp. 35–39.