Omotopia

In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico a un altro sono chiamate omotope (dal Greco Antico: ὁμός homós 'medesimo, simile' e τόπος tópos 'luogo') se una può essere trasformata nell'altra mediante deformazione continua: tale deformazione è chiamata omotopia tra le due funzioni. Un utilizzo notevole del concetto di omotopia è rintracciabile nella definizione di gruppi di omotopia e gruppi di coomotopia, importanti invarianti nella topologia algebrica.^[1]

Nella pratica, vi sono alcune difficoltà tecniche nell'utilizzo delle omotopie con determinati spazi. I topologi algebrici lavorano con spazi generati in modo compatto, complessi CW o spettri.

Definizione formale

Un'omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Formalmente, un'omotopia fra due funzioni continue $f$ e $g$ da uno spazio topologico $X$ a uno spazio topologico $Y$ è una funzione continua $H\colon X\times [0,1]\to Y$ dal prodotto dello spazio $X$ con l'intervallo unitario $[0,1]$ a $Y$ tale che $H(x,0)=f(x)$ e $H(x,1)=g(x)$ per ogni $x\in X$ .

Se pensiamo al secondo parametro di $H$ come il "tempo", allora $H$ descrive una "deformazione continua" di $f$ in $g$ : al tempo $0$ abbiamo la funzione $f$ , al tempo $1$ abbiamo la funzione $g$ . Possiamo anche pensare, in termini più informatici, al secondo parametro come uno slider control, il quale consente di passare gradualmente da $f$ a $g$ mentre lo slider si sposta da 0 a 1, e viceversa.

Una formulazione alternativa si ha definendo un'omotopia tra due funzioni continue $f,g\colon X\to Y$ come una famiglia di funzioni continue $h_{t}\colon X\to Y$ , per $t\in [0,1]$ , tale che $h_{0}=f$ , $h_{1}=g$ e $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ una funzione continua da $X\times [0,1]$ a $Y$ . Non è sufficiente richiedere che ogni funzione $h_{t}(x)$ debba essere continua.^[2]

Esempi

Due funzioni continue $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

G\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{m}

G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x).

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni $f,g\colon X\to \mathbb {R} ^{m}$ definite su uno spazio topologico $X$ arbitrario. Notiamo che, anche se $f$ e $g$ sono iniettive, la "deformazione al tempo $t$ " data da $tf(x)+(1-t)g(x)$ può non essere iniettiva.

Proprietà

Relazione di equivalenza

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da $X$ a $Y$ . Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se $f_{1},g_{1}\colon X\to Y$ sono omotope, e $f_{2},g_{2}\colon Y\to Z$ sono omotope, allora anche le loro composizioni $f_{2}\circ f_{1}\colon X\to Z$ e $g_{2}\circ g_{1}\colon X\to Z$ sono omotope.

Una funzione $f\colon X\to Y$ è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se $Y$ è connesso per archi, le funzioni costanti da $X$ in $Y$ sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi $X$ per cui ogni funzione continua $f\colon X\to X$ è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Altri esempi di spazi contraibili sono: la palla $n$ -dimensionale per qualsiasi $n$ e la superficie dell'ipersfera $S^{n}$ per $n$ dispari, che possiede caratteristica di Eulero $\chi =0$ , come quella del punto (per $n$ pari, la caratteristica vale $2$ , come quella della superficie sferica).

Uno spazio $X$ è contrattile se e solo se la applicazione identica da $X$ in sé è omotopicamente nulla.

Spazi omotopicamente equivalenti

Dati due spazi $X$ e $Y$ , diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni $f\colon X\to Y$ e $g\colon Y\to X$ tali che $g\circ f$ è omotopa alla funzione identità $\mathrm {id} _{X}$ su $X$ e $f\circ g$ è omotopa alla funzione identità $\mathrm {id} _{Y}$ su $Y$ . Le applicazioni $f$ e $g$ sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio $X$ è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico $P$ fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ è omotopicamente equivalente alla circonferenza $S^{1}$ .

Proprietà invarianti per omotopia

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti, allora

se $X$ è connesso, allora lo è anche $Y;$
se $X$ è connesso per archi, allora lo è anche $Y;$
se $X$ e $Y$ sono connessi per archi, allora i gruppi fondamentali di $X$ e $Y$ sono isomorfi, così come i gruppi di omotopia superiori;
in particolare, se $X$ è semplicemente connesso, allora lo è anche $Y;$
i gruppi di omologia e di coomologia di $X$ e $Y$ sono isomorfi;
il genere di una superficie è invariante per omotopia.

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la sfera $S^{n}$ è semplicemente connessa per ogni $n$ maggiore di 1 e non contraibile.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi $X$ e $Y$ omotopicamente equivalenti dove:

$X$ è compatto e $Y$ no ( $X$ è un punto e $Y$ uno spazio euclideo);
$X$ è una varietà topologica o differenziabile e $Y$ no;
$X$ e $Y$ sono varietà topologiche di dimensioni diverse;
$X$ e $Y$ hanno omologia a supporto compatto diversa.

Categoria delle omotopie e invarianti per omotopie

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici $X$ e $Y$ sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (rispettivamente omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

Omotopia relativa

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se $f$ e $g$ sono applicazioni continue da $X$ a $Y$ e $K$ è un sottoinsieme di $X$ , allora diciamo che $f$ e $g$ sono omotope relativamente a $K$ se esiste una omotopia $H\colon X\times [0,1]\to Y$ tra $f$ e $g$ tale che $H(k,t)=f(k)=g(k)$ per ogni $k\in K$ e $t\in [0,1]$ .

Isotopia

Nel caso in cui le due funzioni continue date $f$ e $g$ dallo spazio topologico $X$ allo spazio topologico $Y$ siano un omeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da $X$ alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse attraverso omeomorfismi con l'immagine. Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia $H$ (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni $t$ fissato, $H(x,t)$ è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

L'applicazione dal disco unitario in $\mathbb {R} ^{2}$ definita da $f(x,y)=(-x,-y)$ , che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo $\alpha$ con $\alpha$ che varia da 0 gradi a 180 gradi.
L'applicazione dall'intervallo $[-1,1]$ in $\mathbb {R}$ definita da $f(x)=-x$ non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in $\mathbb {R}$ sono omotope, perché $\mathbb {R}$ è contrattile).
In generale, l'applicazione dalla palla in $\mathbb {R} ^{n}$ definita da $f(v)=-v$ è isotopa all'identità se e solo se $n$ è pari: questo perché per $n$ dispari tale mappa cambia l'orientazione della palla.

Isotopia ambiente

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico $X$ è una isotopia fra la funzione identità $\mathrm {id} \colon X\to X$ ed un altro omeomorfismo $f\colon X\to X$ .

L'isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi $K_{1}$ e $K_{2}$ in uno spazio a tre dimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità $\mathrm {id} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ed un omeomorfismo $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che $f(K_{1})=K_{2}$ .

Note

↑ (EN) Homotopy | mathematics, su Encyclopedia Britannica. URL consultato il 17 agosto 2019.
↑ algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions, su Mathematics Stack Exchange.

Bibliografia

Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7.
Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
M.A. Armstrong, Basic Topology, Springer, 1979, ISBN 0-387-90839-0.
Edwin Spanier, Algebraic Topology, Springer, December 1994, ISBN 0-387-94426-5.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Robert Osserman, homotopy, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Homotopy, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Homotopy | mathematics, su Encyclopedia Britannica. URL consultato il 17 agosto 2019.

[2] raic topology - Path homotopy and separately continuous functions, su Mathematics Stack Exchange.

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