Ortodromia

In geometria sferica, l'ortodromia (dal greco antico ortos, retto, dritto, e dromos, percorso, da dramein, correre) è la linea più breve che permette di congiungere due punti su una sfera, ed è costituita da una porzione di circonferenza massima, ottenibile intersecando la superficie della sfera con un piano passante per il centro. Questa distanza è anche detta distanza di cerchio massimo.

In navigazione, se consideriamo la Terra di forma sferica, si può dire che un aeromobile o un'imbarcazione naviga per ortodromia quando, nell'andare da un punto a un altro della superficie terrestre, percorre l'arco di circonferenza minimo che li congiunge. Essa ha la caratteristica di tagliare tutti i meridiani con angoli diversi, lungo un cerchio massimo, a differenza della lossodromia, che invece taglia tutti i meridiani con lo stesso angolo, ma rispetto alla quale vi è un sensibile risparmio di percorso, in particolare sulle lunghe distanze.

Casi particolari sono gli archi di meridiano (angolo di taglio costante = 0°/180°). È da notare che anche gli archi del parallelo equatoriale rappresentano casi particolari di ortodromia in quanto, anche non variando l'angolo di intersezione con i meridiani, la distanza tra i punti considerati (partenza ed arrivo) è la minima possibile.

Poiché nel caso della navigazione (aerea o marittima) è conveniente, in generale (a meno di altre variabili quali correnti marine, venti in quota, ecc.), percorrere il tragitto più breve per collegare due punti, la rotta ortodromica è quella preferenziale. Una rotta di questo tipo è però soltanto ideale, in quanto non è pensabile che il mezzo in questione possa variare in modo continuo la direzione di navigazione (intesa come orientamento rispetto ai punti cardinali). La rotta reale è molto spesso una buona approssimazione della rotta ortodromica, realizzata tramite successive rotte lossodromiche parziali (spezzata).

L'angolo che sottende questa distanza viene detto distanza angolare. La parola "ortodromia" viene anche identificata con l'espressione idiomatica in linea d'aria.

Vertice: è il punto dell'ortodromia a maggiore latitudine; esistono due vertici per ogni ortodromia (che è un circolo massimo sulla sfera terrestre) uno all'antipode dell'altro.

Nodi: punti in cui l'ortodromia interseca l'equatore, che è anch'esso un circolo massimo sulla sfera terrestre.

Tutti e quattro questi elementi sono separati tra loro da una differenza di longitudine di 90°.

Siano ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ due punti su una superficie sferica di raggio ${\displaystyle \rho }$ in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Definite ${\displaystyle \phi _{P}}$ e ${\displaystyle \phi _{Q}}$ le longitudini dei due punti prese dall'asse ${\displaystyle x}$ verso la proiezione dei raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ sul piano ${\displaystyle xy}$, e ${\displaystyle \theta _{P}}$ e ${\displaystyle \theta _{Q}}$ le latitudini dei due punti prese dal piano ${\displaystyle xy}$ verso i raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$, le coordinate cartesiane dei due punti sono:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \cos \phi \\y=\rho \cos \theta \sin \phi \\z=\rho \sin \theta .\end{cases}}}$

La distanza "rettilinea" (ossia misurata lungo la retta che attraversa i due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$) fra i due punti è

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {PQ}}^{2}&=(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{P}-y_{Q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2},\\{\overline {PQ}}^{2}&=(\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q})^{2}+(\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q})^{2}+(\rho \sin \theta _{P}-\rho \sin \theta _{Q})^{2},\end{aligned}}}$

sviluppando i calcoli:

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}),}$

dove ${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{Q}-\phi _{P}.}$

Considerando il triangolo ${\displaystyle POQ}$, per trovare la lunghezza dell'arco di cerchio massimo che va da ${\displaystyle P}$ a ${\displaystyle Q}$ bisogna trovare l'ampiezza dell'angolo ${\displaystyle \gamma }$ compreso fra i due raggi ${\displaystyle {\overline {OP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {OQ}}}$ e moltiplicarla poi per il raggio ${\displaystyle \rho }$. Denominato quest'angolo ${\displaystyle \gamma }$ risulta quindi che ${\displaystyle d(P,Q)=\rho \gamma }$. Applicando la Legge del coseno, o Teorema di Carnot, al triangolo ${\displaystyle POQ}$:

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2{\overline {OP}}\cdot {\overline {OQ}}\cos \gamma }$

e quindi

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=\rho ^{2}+\rho ^{2}-2\rho \rho \cos \gamma =2\rho ^{2}-2\rho ^{2}\cos \gamma }$

${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma ).}$

Si uguagliano i due valori di ${\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}}$ che abbiamo trovato:

${\displaystyle 2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma ),}$

sviluppando i calcoli risulta che

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}}).}$

Esprimendolo in modo più esplicito in termini di LATitudine e LONGitudine diventa:

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(LON2-LON1)\cos LAT_{P}\cos LAT_{Q}+\sin LAT_{P}\sin LAT_{Q}})).}$

Se anziché in termini di latitudine e longitudine le coordinate di ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ sono espresse in termini di declinazione e ascensione retta, la formula diventa:

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(RA2-RA1)\cos Dec_{P}\cos Dec_{Q}+\sin Dec_{P}\sin Dec_{Q}})).}$

Questa quantità è detta distanza angolare tra due punti sulla superficie di una sfera. Moltiplicando, come detto inizialmente, questo angolo per il raggio della sfera, si ottiene la lunghezza dell'arco passante per i due punti P e Q:

${\displaystyle d(P,Q)=\rho \arccos(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}).}$

La distanza fra due punti su una sfera può essere calcolata anche tramite i vettori: consideriamo infatti i due punti ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ come vettori espressi dalle matrici

${\displaystyle {\vec {P}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\vec {Q}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}\\\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}\\\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}.}$

Eseguendo il prodotto scalare fra ${\displaystyle {\vec {P}}}$ e ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ risulta che ${\displaystyle {\vec {P}}\cdot {\vec {Q}}=\left|P\right|\left|Q\right|\cos \varepsilon }$ (dove ${\displaystyle \varepsilon }$ è sempre l'angolo compreso fra i due vettori):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}&\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}&\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}=\rho ^{2}\cos \gamma .}$

Sviluppando i calcoli

${\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}}).}$

E quindi la distanza minima tra i due punti è

${\displaystyle d(P,Q)=\rho \arccos(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}).}$

• Geometria sferica
• Cerchio massimo
• Geodetica
• Arco di circonferenza
• Lossodromia
• Corrente a getto

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ortodromia»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ortodromia

• Dimostrazione matematica, su mathworld.wolfram.com.
• Sito interattivo, su gc.kls2.com.
• Sito interattivo, su v-flyer.com.
• Sito interattivo, su acscdg.com.
• Sito interattivo in 3D Archiviato il 9 febbraio 2012 in Internet Archive. Tool JavaScript (Google Chrome, Firefox, Safari (browser))