Principio del massimo di Hopf

In matematica, il principio del massimo di Hopf è un principio del massimo utilizzato nello studio di equazioni alle derivate parziali ellittiche.

Sia ${\displaystyle u=u(\mathbf {x} )}$, con ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, una funzione di classe ${\displaystyle C^{2}}$ che soddisfa l'equazione differenziale alle derivate parziali:

${\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

in un aperto connesso di ${\displaystyle \Omega }$, dove la matrice simmetrica dei coefficienti ${\displaystyle a_{ij}(x)}$ è localmente definita positiva in ${\displaystyle \Omega }$ e sia le funzioni ${\displaystyle a_{ij}(x)}$ che le funzioni ${\displaystyle b_{i}(x)}$ sono localmente limitate. Se ${\displaystyle u}$ ha un massimo ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle \Omega }$, allora è costantemente uguale a ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle \Omega }$.^[1]

Data una funzione armonica ${\displaystyle f}$ definita sulla chiusura di una palla ${\displaystyle B_{r}(0)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ centrata nell'origine e di raggio ${\displaystyle r}$ ed un punto ${\displaystyle x_{0}}$ sulla frontiera ${\displaystyle \partial B_{r}(0)}$ di ${\displaystyle B_{r}(0)}$, se ${\displaystyle x_{0}}$ è un massimo assoluto per ${\displaystyle f}$, ovvero:

${\displaystyle f(x_{0})>f(y)\quad \forall y\neq x_{0}}$

allora:

${\displaystyle {{\partial f} \over {\partial {\vec {n}}}}(x_{0})>{{k} \over {r}}(f(x_{0})-f(0))}$

per qualche costante ${\displaystyle k>0}$, con ${\displaystyle {\vec {n}}}$ un versore che da ${\displaystyle x_{0}}$ entra perpendicolarmente in ${\displaystyle B_{r}}$.

• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
• Funzione armonica
• Lemma di Hopf
• Principio del massimo

• (EN) Lecture Three: The Hopf Maximum Principle (PDF), su ocw.mit.edu.