Problema di Wahba

Il problema di Wahba, originariamente formulato da Grace Wahba nel 1965,^[1] consiste nel determinare una matrice di rotazione (ovvero una matrice del gruppo ortogonale speciale) che meglio approssima la trasformazione fra due sistemi di coordinate a partire da due insiemi di osservazioni vettoriali. Un tipico esempio di applicazione consiste nel determinare l'assetto di un velivolo o satellite artificiale a partire da osservazioni ottenute da diversi sensori (che possono includere GNSS, giroscopio, magnetometro, accelerometro, etc.).

Tra le soluzioni al problema, vi sono il metodo q di Davenport, l'algoritmo QUEST, e diversi metodi basati sulla decomposizione ai valori singolari (SVD).^[2]

Il problema di Wahba è correlato al problema di Procuste ortogonale, con la differenza che quest'ultimo ammette come soluzioni matrici ortogonali che non rappresentano necessariamente rotazioni.^[3]

La funzione costo ottimizzata nel problema di Wahba con ${\displaystyle N\geq 2}$ osservazioni è

${\displaystyle J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

dove ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$ è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate di riferimento, ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ è il k-esimo vettore osservato nel sistema di coordinate solidali, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ è una matrice di rotazione tra i due sistemi di coordinate,^[4] e ${\displaystyle a_{k}}$ è un insieme di pesi.

È possibile risolvere il problema di Wahba tramite decomposizione ai valori singolari. Tale metodo è tuttavia usato meno comunemente rispetto ad altre soluzioni per via del suo costo computazionale. Definendo una matrice ${\displaystyle \mathbf {B} }$ come

${\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}}$

è possibile fattorizzare ${\displaystyle B}$ nella sua decomposizione ai valori singolari

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}}$.

La soluzione al problema di Wahba si ottiene come

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}}$

dove

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}}}$.^[5]

• G. Wahba, A Least Squares Estimate of Satellite Attitude, in SIAM Review, vol. 3, n. 7, 1965, p. 409.
• M. D. Shuster e S. D. Oh, Three-Axis Attitude Determination from Vector Observations (PDF), in Journal of Guidance and Control, vol. 1, n. 4, 1981, pp. 70-77. URL consultato il 12 febbraio 2022 (archiviato dall'url originale il 21 novembre 2018).
• F. L. Markley, Attitude Determination using Vector Observations and the Singular Value Decomposition (PDF), in Journal of the Astronautical Sciences, n. 38, 1988, pp. 245-258.
• F. L. Markley e D. Mortari, Quaternion Attitude Estimation Using Vector Observations (PDF), in Journal of the Astronautical Sciences, vol. 2, n. 48, 2000, pp. 359-380. URL consultato il 12 febbraio 2022 (archiviato dall'url originale il 1º dicembre 2017).
• F. L. Markley e J. L. Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, Springer, 2014.
• B. Libbus, G. Simons e Y. Yao, Rotating Multiple Sets of Labeled Points to Bring Them Into Close Coincidence: A Generalized Wahba Problem, in The American Mathematical Monthly, vol. 2, n. 124, 2017, pp. 149-160.
• M. Lourakis e G. Terzakis, Efficient Absolute Orientation Revisited, IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2018, pp. 5813-5818.

• Algoritmo di Kabsch
• Problema di Procuste ortogonale