Prodotto di Cauchy

Consideriamo due serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ e ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$. Esplicitando i termini delle due somme, otteniamo:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\dots }$

${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\dots }$

Eseguendo il prodotto termine a termine tra le due serie, è possibile raggruppare i termini risultanti in base alla somma dei loro pedici.

Per somma degli indici 0, si ha un solo termine: ${\displaystyle a_{0}b_{0}.}$

Per somma degli indici 1, si hanno i termini: ${\displaystyle a_{0}b_{1},a_{1}b_{0}.}$

Per somma degli indici 2, si hanno i termini: ${\displaystyle a_{0}b_{2},a_{1}b_{1},a_{2}b_{0}.}$

Procedendo in questo modo, la somma risultante dal prodotto delle due serie può essere riorganizzata e scritta come segue:

${\displaystyle a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\dots }$

Possiamo indicare le somme racchiuse tra parentesi con una nuova successione di termini ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\dots }$, ottenendo formalmente la serie:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=c_{0}+c_{1}+c_{2}+\dots }$

Si osserva che il termine generale ${\displaystyle c_{n}}$ è formato da tutti i prodotti del tipo ${\displaystyle a_{k}b_{j}}$ tali per cui ${\displaystyle k+j=n}$. Sostituendo ${\displaystyle j=n-k}$, è possibile definire in modo compatto il termine ${\displaystyle c_{n}}$ come:

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}}$

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k+1}}}{\frac {1}{\sqrt {n+1-k}}}\geq {\frac {1}{n+1}},}$

che è la serie armonica. La maggiorazione, per il criterio del confronto, implica la divergenza della serie prodotto.