Prodotto di Wallis

In matematica per prodotto di Wallis si intende un'espressione del valore di π trovata nel 1655 dal matematico John Wallis.

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

Consideriamo innanzitutto che le radici di sin(x)/x sono ±nπ, dove n = 1, 2, 3, ... Possiamo quindi esprimere il seno tramite un prodotto infinito di fattori lineari dati dalle sue radici:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \qquad {\textrm {con}}~k~{\textrm {costante}}}$

Per trovare la costante k, consideriamo il limite da entrambe le direzioni:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \right)=k}$

Sfruttando il fatto che:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

ricaviamo k=1. Dunque otteniamo la seguente formula di Eulero-Wallis per il seno:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots }$

Poniamo x=π/2,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi /2}}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }(1-{\frac {1}{4n^{2}}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

QED

L'approssimazione di Stirling per ${\displaystyle n!}$ stabilisce che

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}$

per ${\displaystyle n\to +\infty }$. Consideriamo ora l'approssimazione finita con il prodotto di Wallis, ottenuta prendendo i primi ${\displaystyle k}$ termini del prodotto:

${\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}}$

${\displaystyle p_{k}}$ può essere scritto come

${\displaystyle p_{k}={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{(2n(2n-1))^{2}}}={1 \over {2k+1}}\cdot {{4^{2k}\,k!^{4}} \over {(2k\,!)^{2}}}\ .}$

Sostituendo l'approssimazione di Stirling in questa espressione (sia per ${\displaystyle k!}$ che per ${\displaystyle 2k!}$) possiamo dedurre (dopo un breve calcolo) che ${\displaystyle p_{k}}$ converge a ${\displaystyle \pi /2}$ per ${\displaystyle k\to +\infty }$.

• Pagina sull'analisi complessa in PlanetMath che include una dimostrazione del prodotto infinito