Pseudosfera

In geometria differenziale, la pseudosfera è una superficie di rotazione generata dalla rotazione di una curva chiamata trattrice intorno al suo asintoto. Qualora la figura venga chiusa, essa genera un solido di rotazione.

È chiamata pseudosfera poiché la sua curvatura gaussiana è costante in ogni punto geometrico ed è opposta a quella di una sfera di raggio ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle K=-{\frac {1}{R^{2}}}.}$

Tale superficie viene detta anche pseudosfera di Beltrami, dal nome del matematico italiano Eugenio Beltrami che nel 1868 ne analizzò formalmente le proprietà fornendo la prima interpretazione della geometria non euclidea.^[1] Essa è nota anche come trattricoide, unione della radice "trattrice" e del suffisso -oide (utilizzato frequentemente in geometria per la classificazione dei solidi e delle superfici di rotazione, come il paraboloide o l'ellissoide). Una variante matematica strettamente correlata a tale superficie è la superficie di Dini.

Nel saggio di Beltrami, la pseudosfera ricopre un ruolo di primaria importanza per essere stato il primo modello capace di concretizzare la geometria iperbolica (o geometria di Lobačevskij).

La pseudosfera, infatti, soddisfa localmente gli assiomi della geometria iperbolica nello stesso identico modo in cui la superficie di un cilindro rappresenta localmente un modello bidimensionale equivalente al piano euclideo. Questo risultato è di notevole importanza poiché dimostra la coerenza intrinseca della geometria non euclidea, mostrando come le rette iperboliche corrispondano fedelmente alle geodetiche sulla pseudosfera.

Secondo il noto teorema di Hilbert, tuttavia, non è possibile immergere globalmente e isometricamente il piano iperbolico all'interno dello spazio euclideo tridimensionale mediante una superficie regolare e priva di singolarità. Nel caso della pseudosfera, tale limite strutturale o singolarità coincide con il suo equatore (la cuspide tagliente generata dalla trattrice originaria nel momento della rivoluzione). Per via di questo vincolo invalicabile, la pseudosfera rappresenta esclusivamente un modello "locale", e non globale, della geometria non euclidea.^[2]

L'equazione parametrica standard impiegata per definire una pseudosfera (assumendo l'asse ${\displaystyle z}$ della funzione come asintoto e asse di rotazione) è la seguente:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t,a)=\sin(t)\sin(a)\\y(t,a)=\sin(t)\cos(a)\\z(t)=\cos(t)+\ln \left(\tan \left({\frac {t}{2}}\right)\right).\end{cases}}}$

In alternativa, impiegando una differente notazione basata interamente sulle funzioni iperboliche (dove il parametro ${\displaystyle u}$ funge da angolo di rotazione per definire i paralleli e ${\displaystyle v}$ da coordinata scalare lungo l'asintoto per delineare i meridiani), essa può essere espressa come:

${\displaystyle {\begin{cases}x(v,u)=\operatorname {sech} (v)\sin(u)\\y(v,u)=\operatorname {sech} (v)\cos(u)\\z(v)=v-\tanh(v).\end{cases}}}$

L'elemento infinitesimo di area superficiale della pseudosfera è calcolato tramite il differenziale:

${\displaystyle dA=\operatorname {sech} (v)\tanh(v)\,du\,dv.}$

Da questo, procedendo con il calcolo del doppio integrale analitico esteso sull'intero dominio della superficie, si ricava il limite:

${\displaystyle A=2\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} (v)\tanh(v)\,du\,dv=4\pi .}$

Il risultato conferma un assunto geometrico assai singolare già scoperto nel XVII secolo dal celebre scienziato olandese Christiaan Huygens: la misura dell'area della superficie di una pseudosfera dotata di raggio unitario (${\displaystyle R=1}$) è quantitativamente identica a quella generata da una sfera con il medesimo raggio.

Al contrario, il calcolo del volume complessivo racchiuso dalla pseudosfera (considerata nella sua conformazione a solido chiuso) restituisce il valore analitico di:

${\displaystyle V=\pi \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} ^{2}(v)\tanh ^{2}(v)\,dv={\frac {2}{3}}\pi .}$

La formula prova come una pseudosfera di raggio unitario descriva nello spazio tridimensionale una porzione di volume pari all'esatta metà rispetto a una comune sfera di pari raggio.

L'equazione fondamentale delle geodetiche che tracciano il cammino più breve tra due punti situati sulla superficie della pseudosfera è:

${\displaystyle \cosh ^{2}(v)+(u+c)^{2}=k^{2}.}$

La curvatura gaussiana, in ottemperanza ai principî matematici sopra delineati, risulta omogeneamente costante e negativa. Fissato un raggio unitario ${\displaystyle R=1}$, si ha formalmente:

${\displaystyle K=-1.}$

La curvatura media, che esprime la piegatura estrinseca della superficie immersa nello spazio vettoriale, non si mantiene invece costante. La sua formulazione analitica è data da:

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(\sinh(v)-{\frac {1}{\sinh(v)}}\right).}$

• Trattrice (geometria)
• Eugenio Beltrami
• Superficie di rotazione
• Superficie di Dini

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• (EN) pseudosphere, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Pseudosphere, su MathWorld, Wolfram Research.