Punto di Fermat

punto di Fermat
Codice ETC	13
Coordinate baricentriche
λ1	${\displaystyle a\cdot \csc(A\pm \pi /3)}$
λ2	${\displaystyle b\cdot \csc(B\pm \pi /3)}$
λ3	${\displaystyle c\cdot \csc(C\pm \pi /3)}$
Coordinate trilineari
x	${\displaystyle \csc(A\pm \pi /3)}$
y	${\displaystyle \csc(B\pm \pi /3)}$
z	${\displaystyle \csc(C\pm \pi /3)}$

In geometria, il punto di Fermat, anche chiamato punto di Torricelli o punto di Fermat-Torricelli, è il punto che minimizza la distanza complessiva da tutti e tre i vertici di un triangolo. La scoperta risale come soluzione a un problema posto da Fermat a Torricelli.

Quando un triangolo ha un angolo maggiore di 120° il punto di Fermat è posto sul vertice dell'angolo ottuso. In un triangolo in cui l'angolo maggiore misura meno di 120°, il punto di Fermat è individuato dall'intersezione delle tre linee ottenute congiungendo ciascun vertice del triangolo con il vertice, non appartenente al triangolo, del triangolo equilatero costruito sul lato opposto a tale angolo esternamente al triangolo.

Il punto di Fermat ha diverse proprietà. Dato un triangolo ${\displaystyle ABC}$ si deve costruire su ogni lato un triangolo equilatero in modo da formare tre triangoli chiamati ${\displaystyle ABC'}$, ${\displaystyle AB'C}$, ${\displaystyle A'BC}$. Congiungendo ${\displaystyle {\overline {AA'}}}$, ${\displaystyle {\overline {BB'}}}$, ${\displaystyle {\overline {CC'}}}$ queste tre rette si incontrano in un punto ${\displaystyle F}$. Si dimostra che ${\displaystyle {\overline {AA'}}={\overline {BB'}}={\overline {CC'}}}$. Infatti i triangoli ${\displaystyle ACA'}$ e ${\displaystyle B'CB}$ sono congruenti perché ${\displaystyle {\overline {CA}}={\overline {CB'}},{\overline {CA'}}={\overline {CB}}}$, e sono uguali gli angoli ${\displaystyle A{\hat {C}}A'=B{\hat {C}}B'}$ perché ottenuti entrambi aggiungendo un angolo di 60° a ${\displaystyle A{\hat {C}}B}$. Ne segue che ${\displaystyle {\overline {AA'}}={\overline {BB'}}}$ e analogamente si prova che ${\displaystyle {\overline {AA'}}={\overline {CC'}}}$. Si costruiscano tre circonferenze ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ tali che ${\displaystyle \gamma }$ sia circoscritta ad ${\displaystyle ACB'}$, ${\displaystyle \alpha }$ sia circoscritta ad ${\displaystyle A'CB}$, ${\displaystyle \beta }$ sia circoscritta ad ${\displaystyle AC'B}$. Le tre circonferenze avranno tutte in comune il punto ${\displaystyle F}$. Poiché i quadrilateri ${\displaystyle AC'BF}$, ${\displaystyle AB'CF}$ sono inscritti in una circonferenza, l'angolo ${\displaystyle A{\hat {F}}B=120^{\circ }}$ e l'angolo ${\displaystyle A{\hat {F}}C=120^{\circ }}$.

Ne segue che: l'angolo ${\displaystyle B{\hat {F}}C=120^{\circ }}$: quindi il punto ${\displaystyle F}$ appartiene a ${\displaystyle \beta }$. Il punto ${\displaystyle F}$ appartiene a ${\displaystyle {\overline {BB'}}}$ perché: l'angolo ${\displaystyle A{\hat {F}}B=120^{\circ }}$ l'angolo ${\displaystyle A{\hat {F}}B'=A{\hat {C}}B'=60^{\circ }}$. Allo stesso modo si dimostra che ${\displaystyle F}$ appartiene ad ${\displaystyle {\overline {AA'}}}$ e anche a ${\displaystyle {\overline {CC'}}}$.

Il punto ${\displaystyle F}$ è detto "punto di Fermat" del triangolo ${\displaystyle ABC}$.

Lemma 1

Per ogni vettore ${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\neq {\overrightarrow {0}},}$

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}+{\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}}+{\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}={\overrightarrow {0}}}$

è equivalente al fatto che

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\qquad {\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}},\qquad {\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}}$

formano tutti tra di loro un angolo di 120°.

Dimostrazione del lemma 1

Siano ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}},}$ per ${\displaystyle i=0,1,2,}$ i versori seguenti

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{0}}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\qquad {\overrightarrow {e_{1}}}={\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}},\qquad {\overrightarrow {e_{2}}}={\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}.}$

Sia ${\displaystyle \theta _{ij}}$ l'angolo tra due vettori unitari ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$ e ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{j}}}.}$ Si ha quindi che ${\displaystyle \theta _{ij}=\theta _{ji}}$ e i valori del prodotto scalare sono

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}=\cos \theta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{se }}i=j\\-{\frac {1}{2}}&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}}$

Così si ottiene ${\displaystyle \theta _{ij}=120^{\circ }}$ per ${\displaystyle i\neq j.}$

Viceversa, se i versori ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}},}$ per ${\displaystyle i=0,1,2,}$ formano un angolo di 120° tra di loro, si ottiene

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}={\begin{cases}\cos 0^{\circ }=1&{\text{se }}i=j\\\cos 120^{\circ }=-{\frac {1}{2}}&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}}$

Quindi si ha

${\displaystyle |{\overrightarrow {e_{0}}}+{\overrightarrow {e_{1}}}+{\overrightarrow {e_{2}}}|^{2}=\sum _{i=j}^{}{\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}+\sum _{i\neq j}^{}{\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}=3\times 1+6\times \left(-{\frac {1}{2}}\right)=0.}$

Pertanto si ottiene

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{0}}}+{\overrightarrow {e_{1}}}+{\overrightarrow {e_{2}}}={\overrightarrow {0}}.}$

Lemma 2

Per ogni vettore ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {x}},}$ si ha

${\displaystyle |{\overrightarrow {a}}-{\overrightarrow {x}}|\geq |{\overrightarrow {a}}|-{\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}}.}$

Dimostrazione del lemma 2

Per ogni vettore ${\displaystyle {\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}},}$ è noto che ${\displaystyle |{\overrightarrow {u}}||{\overrightarrow {v}}|\geq {\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}.}$

Ponendo ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}}$ e ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {a}}-{\overrightarrow {x}},}$ si ha la tesi del lemma 2.

Se il triangolo ${\displaystyle ABC}$ è un triangolo in cui tutti gli angoli sono inferiori a 120°, si può costruire il punto ${\displaystyle F}$ all'interno del triangolo ${\displaystyle ABC.}$ Ora impostando il punto ${\displaystyle F}$ come origine dei vettori, per ogni punto ${\displaystyle X}$ dello spazio euclideo ${\displaystyle E}$, si ha ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {FA}},{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {FB}},{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {FC}},{\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {FX}}.}$

Se ${\displaystyle F}$ è il punto di Fermat, allora ${\displaystyle \angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ }.}$ Quindi, si ottiene l'uguaglianza del lemma 1.

Dal lemma 2, si ottiene

${\displaystyle |{\overrightarrow {XA}}|\geq |{\overrightarrow {FA}}|-{\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}},}$

${\displaystyle |{\overrightarrow {XB}}|\geq |{\overrightarrow {FB}}|-{\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}},}$

${\displaystyle |{\overrightarrow {XC}}|\geq |{\overrightarrow {FC}}|-{\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}}.}$

Da queste tre disuguaglianze e dal lemma 1, segue che

${\displaystyle |{\overrightarrow {XA}}|+|{\overrightarrow {XB}}|+|{\overrightarrow {XC}}|\geq |{\overrightarrow {FA}}|+|{\overrightarrow {FB}}|+|{\overrightarrow {FC}}|.}$

Esso vale per ogni punto ${\displaystyle X}$ dello spazio euclideo ${\displaystyle E,}$ quindi se ${\displaystyle X=F,}$ allora il valore di ${\displaystyle |{\overrightarrow {XA}}|+|{\overrightarrow {XB}}|+|{\overrightarrow {XC}}|}$ è minimo.

Questo quesito fu posto da Fermat a Evangelista Torricelli. Egli risolse il problema in modo simile a Fermat, usando l'intersezione delle circonferenze dei tre triangoli regolari. Il suo allievo, Vincenzo Viviani, pubblicò la soluzione nel 1659.^[1]

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Punto di Fermat

• (EN) Eric W. Weisstein, Fermat Points, su MathWorld, Wolfram Research.
• Generalizzazione Fermat-Torricelli su Dynamic Geometry Sketches Pagina interattiva che generalizza il punto di Fermat-Torricelli
• (EN) Clark Kimberling, X₁₃, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.
• Un esempio pratico del punto di Fermat (Inglese), su matifutbol.com.