Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria ${\displaystyle \sum _{n}x_{n}}$ viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi ${\displaystyle x_{n+1}/x_{n}}$ è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di ${\displaystyle q^{n}}$, la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}}$

dove

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}}$ .

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q\\&q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$ ,

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q^{1/2}\\&q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

e

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&-1\\&-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots }$

Tra le identità più semplici segnaliamo

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}$

e

${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz)}$

Il caso particolare relativo ad ${\displaystyle a=0}$ è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Ramanujan ha scoperto l'identità

${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}={\frac {(b/a;q)_{\infty }\;(q;q)_{\infty }\;(q/az;q)_{\infty }\;(az;q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }\;(b/az;q)_{\infty }\;(q/a;q)_{\infty }\;(z;q)_{\infty }}}}$

valida per ${\displaystyle |q|<1}$ e ${\displaystyle |b/a|<|z|<1}$. Una fondamentale identità simile alla precedente concernente ${\displaystyle \,_{6}\psi _{6}}$ è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }}$ .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

${\displaystyle A(z;q)={\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

${\displaystyle \;_{r+1}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{r}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{s}\end{matrix}};q,z\right]:\!=\sum _{n=0}^{\infty }\{(-1)^{n}q^{n \choose 2}\}^{s-r}{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}}$

• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
• Eduard Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• Chu WenChang (1998): Basic Almost-Poised Hypergeometric Series, Memoirs of the American Mathematical Society, N. 642, ISBN 0-8218-0811-7.
• THomas Ernst (2001): Licentiate Thesis: The history of the q-calculus and a new method (University of Uppsala)
• W. Chu, L. Di Claudio (2004): Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce.
• Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's ${\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}$ Summation, (senza data)