Rodonea di Maurer

La rodonea di Maurer è stata introdotta da Peter M. Maurer^[1]. Una rodonea di Maurer è generata congiungendo punti su una rodonea.

Se ${\displaystyle r=\sin(n\theta )}$ descrive una rodonea in coordinate polari, dove ${\displaystyle n}$ è un numero intero non negativo, essa ha ${\displaystyle n}$ petali se ${\displaystyle n}$ è dispari e ${\displaystyle 2n}$ petali se ${\displaystyle n}$ è pari.

Selezioniamo 361 punti sulla rodonea:

${\displaystyle (\sin(nk),k),\qquad {\text{per }}k=0,d,2d,3d,\ldots ,360d,}$

dove ${\displaystyle d}$ è anch'esso un numero naturale e gli angoli sono espressi in gradi e non in radianti.

Una rodonea di Maurer è costituita da 360 segmenti che collegano in successione i 361 punti selezionati sulla rodonea ${\displaystyle r=\sin(n\theta ).}$ È pertanto una poligonale con vertice su una rodonea.

Una rodonea di Maurer può essere descritta come un percorso chiuso sul piano: un osservatore parte dall'origine ${\displaystyle (0,0)}$ e si sposta fino al punto ${\displaystyle (\sin(nd),d).}$ Nella seconda parte del suo percorso, l'osservatore mira al punto successivo ${\displaystyle (\sin(n\cdot 2d),2d)}$ e si sposta in linea retta verso di esso e così via. Nell'ultima parte del suo viaggio, l'osservatore si sposta lungo il segmento da ${\displaystyle (\sin(n\cdot 359d),359d)}$ fino al punto finale ${\displaystyle (\sin(n\cdot 360d),360d).}$ L'intero percorso forma la rodonea di Maurer basata sulla rodonea ${\displaystyle r=\sin(n\theta ).}$ Una rodonea di Maurer è sempre una curva chiusa, poiché il punto di partenza ${\displaystyle (0,0)}$ e il punto finale ${\displaystyle (\sin(n\cdot 360d),360d)}$ coincidono.

L'immagine seguente mostra lo sviluppo di una rodonea di Maurer con ${\displaystyle n=2}$ e ${\displaystyle d=29.}$

Alcune rodonee di Maurer come esempi.

• Ipocicloide
• Epicicloide

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Rodonea di Maurer

Dimostrazione interattiva: https://www.sqrt.ch/Buch/Maurer/rodoneedimaurer

L'Episodio 517 della serie Numb3rs tratta delle rodonee di Maurer: http://numb3rs.wolfram.com/517/ (in inglese)

Atlante delle rodonee di Maurer: https://filip26.github.io/maurer-rose-explorer