Spazio botte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio botte (in inglese barrelled space) è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che condivide diverse caratteristiche degli spazi di Fréchet. Gli spazi botte, introdotti dal gruppo di matematici Nicolas Bourbaki, sono studiati soprattutto perché per essi è valida una forma del principio dell'uniforme limitatezza.

Sia ${\displaystyle E}$ uno spazio vettoriale topologico localmente convesso con campo degli scalari ${\displaystyle K}$ su cui è definito un valore assoluto ${\displaystyle |\cdot |}$.

Un insieme ${\displaystyle A\subset E}$ è detto bilanciato se ${\displaystyle \alpha x\in A,}$ per ogni ${\displaystyle x\in A}$ e per ogni ${\displaystyle \alpha \in K}$ tale che ${\displaystyle |\alpha |\leq 1.}$

L'insieme bilanciato ${\displaystyle A}$ è detto assorbente se esiste ${\displaystyle \alpha \in K}$ non nullo tale che ${\displaystyle \alpha x\in A,}$ per ogni ${\displaystyle x\in E.}$

Un insieme botte è un insieme convesso, bilanciato, assorbente e chiuso.

Uno spazio botte è uno spazio vettoriale topologico con una topologia localmente convessa tale per cui ogni insieme botte è un intorno del vettore nullo.

• In uno spazio vettoriale semi-normato la sfera unitaria chiusa è un insieme botte.
• Ogni spazio vettoriale topologico localmente convesso ha una base di intorni costituita da insiemi botte.
• Gli spazi di Fréchet, in particolare gli spazi di Banach, sono spazi botte. In generale, tuttavia, gli spazi normati non sono spazi botte.
• Gli spazi di Montel sono spazi botte.
• Gli spazi localmente convessi che sono spazi di Baire sono spazi botte.
• Gli spazi separati e gli spazi completi sono spazi botte.

• (FR) Nicolas Bourbaki, Sur certains espaces vectoriels topologiques, in Annales de l'Institut Fourier, vol. 2, 1950, pp. 5–16 (1951), MR 0042609.
• Alex P. Robertson e Wendy J. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 53, Cambridge University Press, 1964, pp. 65–75.
• Helmut H. Schaefer, Topological vector spaces, GTM, vol. 3, New York, Springer-Verlag, 1971, p. 60, ISBN 0-387-98726-6.

• Insieme convesso
• Funzionale di Minkowski
• Principio dell'uniforme limitatezza
• Spazio localmente convesso
• Spazio vettoriale topologico
• Spazio di Fréchet

• (EN) Spazio botte, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.