Spazio di Fock

Nella teoria quantistica dei campi lo spazio di Fock è uno spazio di Hilbert usato nel formalismo della seconda quantizzazione per descrivere stati quantistici a numero variabile di particelle.

Lo spazio di Fock è stato introdotto dal fisico Vladimir Fock, che lo descrisse nel testo Konfigurationsraum und zweite Quantelung^[1][2].

Matematicamente è definito come lo spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}$

dove ${\displaystyle S_{\nu }}$ è l'operatore di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione, dipendentemente dal tipo di particelle descritte: nel caso di bosoni si ha ${\displaystyle \nu =+}$, nel caso di fermioni ${\displaystyle \nu =-}$.

La base dello spazio di Fock è costituita dagli stati di Fock.

Lo spazio di Fock è definito come lo spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \ldots }$

Dove ${\displaystyle \mathbb {C} }$ rappresentano gli stati privi di particelle, ${\displaystyle H}$ gli stati di una particella, ${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$ stati di due particelle identiche, e così via.

Un generico stato in ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ è dato da:

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

dove ${\displaystyle \,\psi _{0}}$ è un numero complesso, ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle \in H}$, ${\displaystyle |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\in S_{\nu }(H\otimes H)}$, e così via.

Per

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=\phi _{0}\oplus |\phi _{1}\rangle \oplus |\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots }$

il prodotto interno su ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ è definito come

${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\psi _{0}^{*}\phi _{0}+\langle \psi _{1}|\phi _{1}\rangle +\langle \psi _{11},\psi _{12}|\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }+\ldots }$

dove si è usato il prodotto interno su ognuno degli spazi di Hilbert di ognuna delle ${\displaystyle n}$ particelle.

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