Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

Uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è paracompatto se ogni ricoprimento aperto ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ di ${\displaystyle X}$ ammette un raffinamento ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ di ${\displaystyle X}$ tale che:

• (${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ è raffinamento di ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) Ogni ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ è contenuto in un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, ovvero ${\displaystyle \forall G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \exists F\in {\mathcal {F}}}$ tale che ${\displaystyle G\subset F}$.
• (${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ è localmente finito) Ogni ${\displaystyle x\in X}$ ammette un intorno ${\displaystyle U_{x}}$ che interseca solo un numero finito di elementi di ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che ${\displaystyle X}$ sia uno spazio di Hausdorff.

• Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
• Gli aperti e i chiusi di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sono paracompatti.
• Ogni varietà topologica è paracompatta.
• Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
• L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
• Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.

• Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
• Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
• Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
• L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.

• (EN) Ryszard Engelking, General topology, Berlino, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces, in Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata e Jerry E. Vaughan (a cura di), Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8.

• Partizione dell'unità
• Spazio compatto

• (EN) paracompactness, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Paracompact Space, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.V. Arkhangel'skii, Paracompact space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.