Spazio prehilbertiano

In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno. Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto interno sia completa.

Uno spazio prehilbertiano è una coppia ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$, dove ${\displaystyle H}$ è uno spazio vettoriale reale o complesso e ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ è un prodotto interno.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (definito come ${\displaystyle \mathbb {C} }$ o ${\displaystyle \mathbb {R} }$) è una mappa:^[1]

${\displaystyle \phi \colon V\times V\to \mathbb {F} }$

che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} \in V}$ lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {F} }$.

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per ${\displaystyle a\in \mathbb {F} }$ e ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ,\mathbf {w} \in V}$:

• linearità su una componente:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$

${\displaystyle \phi (a\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} );}$

• antilinearità sull'altra:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} +\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {w} )}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} );}$

• simmetria coniugata:

${\displaystyle \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} )={\overline {\phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}};}$

• definita positiva:

${\displaystyle \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {z} )>0,\qquad \mathbf {z} \neq 0.}$

In altre parole, per ogni ${\displaystyle \mathbf {z} \in V}$ fissato, le applicazioni

${\displaystyle \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {w} ,\mathbf {z} ),\qquad \ \mathbf {w} \mapsto \phi (\mathbf {z} ,\mathbf {w} )}$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ è inteso nel senso matematico e ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ nel senso fisico.

Proprio a causa della proprietà di antilinearità in uno degli argomenti, uno spazio prehilbertiano generalmente non è un'algebra su campo ma una struttura algebrica differente nonostante le molte similitudini.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

• Spazio euclideo
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio completo
• Spazio di Hilbert

• (EN) inner product space, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Inner Product Space, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.I. Lomonosov, Pre-Hilbert space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.