Teorema dei residui

In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme aperto e semplicemente connesso del piano complesso $\mathbb {C}$ . Sia $f$ olomorfa su $\Omega$ ad eccezione che su un insieme $S\subset \Omega$ su cui ha singolarità isolate. Sia $\gamma$ una curva chiusa regolare a tratti in $\Omega \setminus S$ . Allora l'integrale della funzione $f$ su $\gamma$ è dato da:

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{s\in S}I_{s}(\gamma )\operatorname {Res} _{z=s}(f),

dove $\operatorname {Res} _{z=s}(f)$ denota il residuo di $f$ in $s$ , e $I_{s}(\gamma )$ è l'indice di avvolgimento della curva $\gamma$ attorno a $s$ .

L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva $\gamma$ si avvolge attorno ad $s$ ; esso è positivo se $\gamma$ gira in senso antiorario attorno a $s$ e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione

Si consideri il dominio all'interno della curva $\gamma$ . Per compattezza tale dominio contiene un numero finito di singolarità isolate $z_{1},\dots ,z_{k}$ all'interno di $\gamma$ . Si considerino $\gamma _{k}$ multiplamente connesso, dove $\gamma _{k}$ sono le curve che circondano i punti di singolarità $z_{k}$ percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

\oint _{\gamma }f(\xi )\,d\xi =\sum _{k=1}^{n}\oint _{\gamma _{k}}f(\xi )\,d\xi ,

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo $k$ -esimo, per cui:

\oint _{\gamma }f(\xi )\,d\xi =2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} _{z_{k}}(f).

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui

Nel caso in cui $\Omega$ sia il piano complesso, e $f$ abbia un numero finito di singolarità isolate, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

f\colon \mathbb {C} \setminus \{z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k}\}\to \mathbb {C}

una funzione olomorfa e sia $f$ una curva semplice chiusa e regolare a tratti in $\mathbb {C} \setminus \{z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k}\}$ . La somma dei residui nei punti $z_{1},\ldots ,z_{k},\infty$ è sempre zero. In formule:

\sum \limits _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{z=z_{i}}f+\operatorname {Res} _{z=\infty }f=0

dove $\operatorname {Res} _{z=\infty }f(z)$ è il residuo all'infinito di $f$ .

Bibliografia

(EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Residue Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.