Teorema del differenziale totale

Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).

Sia ${\displaystyle A}$ un aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, sia ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}\in A}$ e sia ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ una funzione tale che vi sia una palla ${\displaystyle B({\vec {x_{0}}},r)\subseteq A}$ in cui esistono tutte le ${\displaystyle n}$ derivate parziali (per ogni ${\displaystyle {\vec {x}}\in B({\vec {x_{0}}},r),}$ quindi anche nel punto ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$) e siano continue nel punto ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$. Allora la funzione è differenziabile in ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}.}$

Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:

${\displaystyle \lim _{{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\to 0}{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}(x-x_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}=0.}$

Iniziamo valutando la differenza ${\displaystyle f(x,y)-f(x_{0},y_{0}).}$ Aggiungendo e sottraendo ${\displaystyle f(x,y_{0})}$ otteniamo ${\displaystyle f(x,y)-f(x,y_{0})+f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0}).}$

Per il teorema di Lagrange esistono due numeri ${\displaystyle \xi }$ e ${\displaystyle \eta }$ tali che ${\displaystyle x_{0}<\xi <x}$ e ${\displaystyle y_{0}<\eta <y}$ per i quali vale

${\displaystyle f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})}$ e ${\displaystyle f(x,y)-f(x,y_{0})=f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}).}$

Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene^[1]

${\displaystyle f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}),}$

${\displaystyle {\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}={\frac {f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}$

Il secondo membro a sua volta può essere scritto come^[1]

${\displaystyle {\frac {(x-x_{0})[f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})]+(y-y_{0})[f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})]}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}$

Le quantità ${\displaystyle {\frac {(x-x_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}}$ e ${\displaystyle {\frac {(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}}$ sono entrambe limitate in valore assoluto. Infatti, dalla disuguaglianza triangolare segue che

${\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1,}$

e analogamente

${\displaystyle {\frac {|y-y_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1.}$

Inoltre quando ${\displaystyle x\to x_{0}}$ e ${\displaystyle y\to y_{0}}$ anche ${\displaystyle \xi \to x_{0}}$ e ${\displaystyle \eta \to y_{0}}$ per quanto scritto sopra. Questo, per la continuità delle derivate, implica che ${\displaystyle |f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})|\to 0}$ e ${\displaystyle |f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})|\to 0,}$ dimostrando così il teorema.

• Enrico Giusti, Analisi Matematica 2, Torino, Bollati Boringhieri, 2003, ISBN 978-88-339-5706-7.

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