Teorema di Green

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Sia ${\displaystyle \partial S}$ una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva ${\displaystyle \partial S}$ orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni ${\displaystyle x}$ appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di ${\displaystyle \pi /2}$) regolare a tratti, e sia ${\displaystyle S}$ la superficie di cui è frontiera. Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene ${\displaystyle S}$, allora:^[1]

${\displaystyle \int _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )=\iint _{S}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} .}$

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

${\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} ).}$

Se si considera un campo vettoriale

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y):=(f(x,y),g(x,y))}$

su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la quantità

${\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )}$

rappresenta l'integrale di ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {u} }$, dove ${\displaystyle \mathbf {u} }$ è la tangente alla curva ${\displaystyle \partial S}$ in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo ${\displaystyle \mathbf {F} }$ lungo la curva ${\displaystyle \partial S}$.

D'altra parte l'espressione:

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}}$

è il modulo del rotore di ${\displaystyle \mathbf {F} }$. Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme ${\displaystyle S}$ del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie ${\displaystyle S}$, e dunque:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

${\displaystyle \int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {\mathrm {d} s} ,\qquad \int _{\partial S}g\mathop {\mathrm {d} y} =\iint _{S}{\frac {\partial g}{\partial x}}\mathop {\mathrm {d} s} .}$

Se si esprime ${\displaystyle S}$ come la regione

${\displaystyle S:=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

dove ${\displaystyle g_{1}}$ e ${\displaystyle g_{2}}$ sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} s&=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} x} \right)\\&=\int _{a}^{b}(f(x,g_{2}(x))-f(x,g_{1}(x)))\mathop {\mathrm {d} x} .\end{aligned}}}$

Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Spezzando il bordo ${\displaystyle \partial S}$ di ${\displaystyle S}$ nell'unione delle quattro curve ${\displaystyle \partial S_{1}}$, ${\displaystyle \partial S_{2}}$, ${\displaystyle \partial S_{3}}$ e ${\displaystyle \partial S_{4}}$, si verifica che:

• Per ${\displaystyle \partial S_{1}}$ valgono le equazioni parametriche ${\displaystyle x=x}$, ${\displaystyle y=g_{1}(x)}$, ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, e quindi si ottiene:

${\displaystyle \int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} .}$

• Per ${\displaystyle \partial S_{3}}$ si usano le equazioni parametriche ${\displaystyle x=x}$, ${\displaystyle y=g_{2}(x)}$, ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, e si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} &=-\int _{-\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} .\end{aligned}}}$

• Per ${\displaystyle \partial S_{2}}$ e ${\displaystyle \partial S_{4}}$ la variabile ${\displaystyle x}$ è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:

${\displaystyle \int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =0.}$

Da cui:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} &=\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} .\end{aligned}}}$

Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

${\displaystyle \int _{\partial S}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {\mathrm {d} s} .}$

La seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano ${\displaystyle x-y.}$ Si ponga di avere un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ in tre dimensioni la cui componente ${\displaystyle z}$ sia sempre nulla, ossia ${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}(L\mathop {\mathrm {d} x} +M\mathop {\mathrm {d} y} )&=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (\mathop {\mathrm {d} x} ,\mathop {\mathrm {d} y} ,\mathop {\mathrm {d} z} )\\&=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \end{aligned}}}$

e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathop {\mathrm {d} \mathbf {r} } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} ,}$

dove la superficie ${\displaystyle S}$ è la regione nel piano e ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ è il versore normale in direzione ${\displaystyle z.}$ L'integrando diventa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).\end{aligned}}}$

Sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} .}$

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} ,}$

dove ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ è il versore normale uscente alla frontiera ${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle D}$. Infatti, dal momento che nel teorema di Green ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$ è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva ${\displaystyle C}$ è orientata in senso antiorario, il vettore normale ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ è il vettore ${\displaystyle (\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}$. La sua lunghezza è ${\displaystyle {\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\mathrm {d} s}$, e quindi ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \mathrm {d} s=(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}$. Detto ${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$, il membro alla destra diventa:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} =\oint _{C}P\mathop {\mathrm {d} y} -Q\mathop {\mathrm {d} x} ,}$

che con il teorema di Green assume la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}-Q\mathop {\mathrm {d} x} +P\mathop {\mathrm {d} y} &=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} \\&=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} .\end{aligned}}}$

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Gradiente
• Divergenza
• Teorema della divergenza
• Rotore (matematica)
• Teorema di Stokes
• Teorema integrale di Cauchy

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• (EN) Green’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Green's Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.