Teorema di Kronecker

Il teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.

In una matrice ${\displaystyle A}$, considerata una sottomatrice quadrata di ordine ${\displaystyle p}$ con determinante diverso da zero, si definiscono orlati tutte le sottomatrici quadrate di ordine ${\displaystyle p+1}$, ottenute aggiungendo una riga e una colonna di ${\displaystyle A}$. Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora ${\displaystyle \mathrm {rk} (A)=p}$.

Grazie a tale teorema non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli che orlano un minore di ordine ${\displaystyle p}$. Il nome è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

Sia ${\displaystyle A\in K^{n\times m}}$, con ${\displaystyle n,m}$ interi positivi, una matrice a coefficienti nel campo ${\displaystyle K}$ e sia ${\displaystyle M=\det(A(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{p};j_{1},j_{2},\ldots ,j_{p}))}$ un minore di ${\displaystyle A}$ di ordine ${\displaystyle p}$. Se ${\displaystyle M\neq 0}$ e

${\displaystyle M_{ij}=\det {\begin{pmatrix}M&{\begin{matrix}a_{i_{1}j}\\\vdots \\a_{i_{p}j}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a_{ij_{1}}&\cdots &a_{ij_{p}}\end{matrix}}&a_{ij}\end{pmatrix}}=0}$

per ogni ${\displaystyle i\not \in \{i_{1},\ldots ,i_{p}\},j\not \in \{j_{1},\ldots ,j_{p}\}}$, allora ${\displaystyle \mathrm {rk} (A)=p}$ e ${\displaystyle \{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{p}}\}}$ è un sistema massimale di righe linearmente indipendenti di ${\displaystyle A}$.

Applicando il teorema alla trasposta ${\displaystyle A^{T}}$ si ottiene che ${\displaystyle \{\mathbf {a} ^{j_{1}},\ldots ,\mathbf {a} ^{j_{p}}\}}$ è un sistema massimale di colonne linearmente indipendenti.

Si consideri ${\displaystyle A(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{p};j_{1},j_{2},\ldots ,j_{p})\in K^{p\times p}}$. Poiché il minore ${\displaystyle M}$ è non nullo, la sottomatrice ha rango ${\displaystyle p}$ e il sistema ${\displaystyle S=\{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{p}}\}}$ di righe di ${\displaystyle A}$ è linearmente indipendente. Supponiamo ${\displaystyle p<n}$. Fissata una qualsiasi riga ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ di ${\displaystyle A}$, per i minori orlati ${\displaystyle M_{ij}}$ ottenuti mediante gli elementi ${\displaystyle a_{ij}}$ con ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,m\}}$ risulta

${\displaystyle {\begin{cases}M_{i1}=\det {\begin{pmatrix}M&{\begin{matrix}a_{i_{1}1}\\\vdots \\a_{i_{p}1}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a_{ij_{1}}&\cdots &a_{ij_{p}}\end{matrix}}&a_{i1}\end{pmatrix}}=0\\\qquad \vdots \\M_{im}=\det {\begin{pmatrix}M&{\begin{matrix}a_{i_{1}m}\\\vdots \\a_{i_{p}m}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a_{ij_{1}}&\cdots &a_{ij_{p}}\end{matrix}}&a_{im}\end{pmatrix}}=0,\end{cases}}}$

in quanto ciascuno di tali orlati è nullo per ipotesi se ${\displaystyle i\not \in \{i_{1},\ldots ,i_{p}\}}$ e ${\displaystyle j\not \in \{j_{1},\ldots ,j_{p}\}}$, ed è nullo perché ha due righe o colonne uguali se ${\displaystyle i\in \{i_{1},\ldots ,i_{p}\}}$ o ${\displaystyle j\in \{j_{1},\ldots ,j_{p}\}}$. Applicando il teorema di Laplace all'ultima colonna si ottengono le ${\displaystyle m}$ relazioni scalari:

${\displaystyle {\begin{cases}M_{i1}=a_{i_{1}1}A_{i_{1}1}+\ldots ++a_{i_{p}1}A_{i_{p}1}+a_{i1}M=0\\\qquad \vdots \\M_{im}=a_{i_{1}m}A_{i_{1}m}+\ldots +a_{i_{p}m}A_{i_{p}m}+a_{im}M=0.\end{cases}}}$

Poiché gli orlati coincidono eccetto per l'ultima colonna, si definisca ${\displaystyle h_{k}:=A_{i_{k}1}=\ldots =A_{i_{k}m},}$ per ${\displaystyle k=1,\ldots ,p}$. Dalle relazioni scalari si trae in forma vettoriale

${\displaystyle h_{1}\mathbf {a} _{i_{1}}+h_{2}\mathbf {a} _{i_{2}}+\ldots +h_{p}\mathbf {a} _{i_{p}}+M\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} ,}$

e quindi, essendo ${\displaystyle M\neq 0}$, si ha

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=-{\frac {h_{1}}{M}}\mathbf {a} _{i_{1}}-{\frac {h_{2}}{M}}\mathbf {a} _{i_{2}}-\ldots -{\frac {h_{p}}{M}}\mathbf {a} _{i_{p}}.}$

Per l'arbitrarietà di ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ si ha che ogni altra riga di ${\displaystyle A}$ dipende linearmente da ${\displaystyle S}$, dunque ${\displaystyle \mathrm {rk} (A)=p}$ e l'asserto è provato.

La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\\2&-1&3\end{pmatrix}}}$

ha un minore di ordine ${\displaystyle 2}$ non nullo

${\displaystyle A_{m}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

È sufficiente considerare gli orlati di ${\displaystyle A_{m}}$, che sono solo due dei quattro minori di ordine ${\displaystyle 3}$ di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\3&-5&1\end{pmatrix}}=0;}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\2&-1&3\end{pmatrix}}=0.}$

Essi risultano nulli, quindi ${\displaystyle \mathrm {rk} (A)=2}$.

• Enrico Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli, 2011, ISBN 978-8808064011.

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