Teorema di Mozzi

Il teorema di Mozzi in cinematica afferma che l'atto di moto più generale di un corpo rigido è elicoidale. Compare per la prima volta nell'opera Discorso Matematico Sopra Il Rotamento Momentaneo Dei Corpi nel 1763, anche se viene da alcuni ascritto al Frisi^[1]. In particolare un atto di moto degenere può essere traslatorio o rotatorio.

La dimostrazione del teorema fa leva sull'Equazione fondamentale della cinematica del corpo rigido, con cui però questo non va confuso. Siano Q e P due punti generici del corpo, e O un punto tale che:

${\displaystyle \mathbf {v} _{Q}=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {v} _{Q\perp }=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {v} _{O\perp }+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{Q}-\mathbf {r} _{O})=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{Q}-\mathbf {r} _{O})}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{O\perp }\cdot \mathbf {\omega } =0}$, quindi parallela a questa velocità angolare.

Si ha che :${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{Q}+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q})=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q})+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{Q}-\mathbf {r} _{O})=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{O})}$.

Se ora applichiamo quanto ricavato per un generico P in particolare per O:

${\displaystyle \mathbf {v} _{O}=\mathbf {v} _{Q\parallel }+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{O}-\mathbf {r} _{O})=\mathbf {v} _{Q\parallel }}$.

Ma allora:

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{O}+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{O})}$.

che è appunto un atto di moto elicoidale per ogni punto P del corpo rigido.

In particolare se ${\displaystyle \mathbf {\omega } =0}$ il moto risulterà traslatorio. Se invece ${\displaystyle \mathbf {v} _{O}=0}$ il moto risulterà rotatorio.

• Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002

• Alberto Strumia, Appunti di Meccanica razionale vedere pagina 130 per ulteriori dimostrazioni del teorema.