Teorema di Picard

Il Teorema di Picard in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Émile Picard.

Premesse

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z₀, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z₀}. Il numero complesso z₀ prende il nome di singolarità essenziale per f se vale una delle seguenti equivalenti affermazioni:

Esiste un numero infinito di termini negativi dello sviluppo in serie di Laurent di f in z₀ .
Il modulo $|f(z)|$ non ha limite per $z$ tendente a $z_{0}$

Enunciato

Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z₀, e se V è un qualunque intorno di z₀ contenuto nel campo di olomorfia U di f, allora f assume in V tutti i valori complessi, eccetto al più uno, un numero infinito di volte.^[1]^[2]

Note

↑ Filippo Gazzola, Franco Tomarelli e Maurizio Zanotti, Funzioni analitiche di variabile complessa, in Analisi complessa, Trasformate, Equazioni differenziali, 2ª ed., Bologna, Esculapio, 2013, ISBN 978-88-7488-641-8.
↑ (EN) M. J. Ablowitz e A. E. Fokas, Complex Variables: Introduction And Applications, 2ª ed., Cambridge University Press, 2003, p. 149.

Collegamenti esterni

(EN) Picard’s theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Picard's Great Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

[1] Filippo Gazzola, Franco Tomarelli e Maurizio Zanotti, Funzioni analitiche di variabile complessa, in Analisi complessa, Trasformate, Equazioni differenziali, 2ª ed., Bologna, Esculapio, 2013, ISBN 978-88-7488-641-8.

[2] (EN) M. J. Ablowitz e A. E. Fokas, Complex Variables: Introduction And Applications, 2ª ed., Cambridge University Press, 2003, p. 149.

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