Trigonometria

Sono dette funzioni trigonometriche dirette quelle che ad un angolo, solitamente espresso in radianti, associano una lunghezza o un rapporto fra lunghezze. A causa dell'equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche dirette sono anche funzioni periodiche con periodo ${\displaystyle \pi }$ o ${\displaystyle 2\pi }$. Nelle funzioni con il prefisso co-, si intende "complementare" (in riferimento all'angolo complementare).

Funzioni trigonometriche dirette
Funzione	Notazione	Dominio	Immagine	Radici	Periodo minimo	Funzione inversa della restrizione
seno	${\displaystyle \sin ,}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcoseno
coseno	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcocoseno
tangente	${\displaystyle \tan ,}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcotangente
cotangente	${\displaystyle \cot ,}$ ${\displaystyle \operatorname {cotg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {ctg} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcocotangente
secante	${\displaystyle \operatorname {sec} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nessuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcosecante
cosecante	${\displaystyle \operatorname {csc} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {cosec} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nessuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcocosecante

Ad ogni funzione trigonometrica diretta è associata convenzionalmente una funzione inversa. In realtà le funzioni trigonometriche dirette non sono funzioni invertibili se prese con dominio e codominio indicati nella tabella soprastante. Tuttavia si possono prendere delle loro restrizioni, indicate convenzionalmente con la stessa notazione, in cui dominio e codominio sono scelti in modo da avere la biiettività delle funzioni e quindi l'invertibilità. Esistono più scelte equivalenti ma in questa voce si considerano le scelte "tradizionali" indicate nella tabella delle funzioni trigonometriche inverse. In particolare, il codominio della funzione trigonometrica inversa è il dominio di quella diretta e, viceversa, il dominio di quella inversa è il codominio della funzione diretta.

Le funzioni trigonometriche inverse vengono anche dette "funzioni antitrigonometriche" o "funzioni ciclometriche"; la parola "ciclometriche" è a sua volta composta dal prefisso ciclo- che indica un cerchio κύκλος, kúklos (in contrapposizione al trigono τρῐ́γωνον, trĭ́gōnon, sinonimo di "triangolo"), e dal suffisso -metriche che indica la misurazione. "Ciclometriche" è inoltre un vocabolo correlato alla ciclometria, un sottocampo della geometria euclidea che, tra i vari, si occupava della misurazione degli archi di circonferenza. Lo stesso vocabolo "ciclometriche" è in contrapposizione con "trigonometriche", in cui il prefisso indica il triangolo come figura di partenza della misurazione. Il prefisso arc- nelle funzioni ciclometriche invece deriva dalla contrazione della parola latina arcus che significa "arco" (in riferimento proprio all'arco di circonferenza unitaria tracciato da un angolo).

Il dominio di ciascuna funzione trigonometrica inversa corrisponde, com'è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché le funzioni dirette sono, tuttavia, periodiche, e perciò non iniettive, per poterle invertire è necessario restringerne il dominio rendendole biiettive. La scelta della restrizione è teoricamente irrilevante e le possibilità sono infinite. La convenzione (rigida, in questo campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ oppure ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$, in cui le funzioni — e dunque anche le loro inverse — siano monotone. Anche le funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definite dall'inversione delle funzioni dirette ristrette ad uno di tali intervalli.

Funzioni trigonometriche inverse
Funzione	Notazione	Dominio	Codominio	Radici	Funzione inversa
arcoseno	${\displaystyle \arcsin ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arcsen} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {asin} }$ ${\displaystyle \sin ^{-1}}$[20]	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	0	seno
arcocoseno	${\displaystyle \arccos ,}$ ${\displaystyle \operatorname {acos} ,}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	coseno
arcotangente	${\displaystyle \arctan ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arctg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {atan} ,}$ ${\displaystyle \tan ^{-1}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$	0	tangente
arcocotangente	${\displaystyle \operatorname {arccot} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arccotg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arcctg} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {acot} ,}$ ${\displaystyle \cot ^{-1}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(0,\pi \right)}$	nessuna	cotangente
arcosecante	${\displaystyle \operatorname {arcsec} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {asec} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {sec} ^{-1}}$	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	secante
arcocosecante	${\displaystyle \operatorname {arccsc} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {arccosec} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {acsc} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {csc} ^{-1}}$	${\displaystyle \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	nessuna	cosecante

Nella tabella che segue sono indicati i valori delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli notevoli compresi tra 0° e 90°:

Angolo α in gradi	Angolo α in radianti	sin(α)	cos(α)	tan(α)	cot(α)
0°	0	0	1	0	${\displaystyle \nexists }$
15°	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
18°	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$
22° 30'	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
36°	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}}$
45°	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	1	1
54°	${\displaystyle {\frac {3}{10}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
67° 30'	${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$
72°	${\displaystyle {\frac {2}{5}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}}$
75°	${\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	1	0	${\displaystyle \nexists }$	0

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}$

Da questa si ricavano

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.}$

Ricordare di valutare la posizione di ${\displaystyle \alpha }$ per la scelta opportuna dei segni.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Dalla definizione di ${\displaystyle \tan \alpha }$ e dalla prima relazione fondamentale si ricava che

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Da questa si ricava

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.}$

Ricordare di valutare la posizione di ${\displaystyle \alpha }$ per la scelta opportuna dei segni.

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},}$

che vale solo per ${\displaystyle \alpha \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha .}$

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan \alpha .}$

Si dice che ${\displaystyle \cos \alpha }$ è una funzione pari, mentre ${\displaystyle \sin \alpha }$ e ${\displaystyle \tan \alpha }$ sono dispari.

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha .}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$ ;}

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha .}$

• ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ ;}
• ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ ;}
• ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }};}$
• ${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}.}$

La formula della tangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

La formula della cotangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta$ ;}
• ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ ;}
• ${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }};}$
• ${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}.}$

La formula della tangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

La formula della cotangente vale per ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$ ;}
• ${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1;}$
• ${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ e ${\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}};}$
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}};}$
• ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule:

• ${\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}};}$
• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}};}$
• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}.}$

L'ultima formula vale per ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$.

• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$
• ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},}$
• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}},}$

dove ${\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}$ con ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$.

• ${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right).}$

Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.

• ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right];}$
• ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right];}$
• ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right].}$

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.

• ${\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi ),}$

dove l'angolo ${\displaystyle \phi }$ è un qualunque angolo che soddisfa

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{cases}}}$

Se si sceglie l'angolo ${\displaystyle \phi }$ nell'intervallo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, si può esplicitare nel seguente modo:

${\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}}),&{\text{se }}a>0,\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b\geq 0,\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b<0.\end{cases}}}$

L'angolo ${\displaystyle \phi }$ non è definito se ${\displaystyle a=b=0,}$ in tal caso l'uguaglianza iniziale si riduce all'identità ${\displaystyle 0=0.}$

Si consideri un triangolo rettangolo ${\displaystyle ABC}$ con angolo retto di vertice ${\displaystyle A}$. Detto ${\displaystyle CA}$ l'asse ${\displaystyle x}$, sul vertice ${\displaystyle C}$ si costruisce una circonferenza di raggio ${\displaystyle CP=1}$. Le coordinate del punto ${\displaystyle P}$ rappresentano il ${\displaystyle \cos \gamma }$ e il ${\displaystyle \operatorname {sen} \gamma }$, e poiché ${\displaystyle \gamma }$ è acuto indicano anche rispettivamente le lunghezze dei cateti ${\displaystyle CH}$ e ${\displaystyle PH}$.

Dalla figura si può osservare che i due triangoli rettangoli ${\displaystyle ABC}$ e ${\displaystyle HPC}$ sono simili in quanto hanno due angoli congruenti: ${\displaystyle \gamma }$ in comune e gli angoli retti di vertice ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle H}$. Quindi è possibile costruire la proporzione fra i lati omologhi dei due triangoli simili (lati opposti agli angoli congruenti):

${\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}.}$

Sostituendo le misure dei lati si ottiene

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}}$

e quindi

${\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\sin \gamma$ ;}

${\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cos \gamma .}$

Da queste due si ricava anche

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\tan \gamma$ ;}

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cot \gamma .}$

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo ${\displaystyle \beta }$ in modo da ottenere formule analoghe

${\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\sin \beta$ ;}

${\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cos \beta$ ;}

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\tan \beta$ ;}

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cot \beta .}$

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre ${\displaystyle AB}$, potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

Il piede della torre è raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto ${\displaystyle AC}$ (${\displaystyle b}$), e dal punto ${\displaystyle C}$ misurare l'angolo acuto ${\displaystyle ACB}$ (${\displaystyle \gamma }$) sotto cui si vede la sommità della torre ${\displaystyle AB}$ (${\displaystyle c}$). Applicando opportunamente le formule si ottiene

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b\tan \gamma .}$

Il piede della torre non è raggiungibile

In questo caso ${\displaystyle AC}$ (${\displaystyle b_{1}=x}$) è incognita (in quanto il piede ${\displaystyle A}$ non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale ${\displaystyle CD}$ (${\displaystyle d}$) (quindi il cateto ${\displaystyle AD}$ è ${\displaystyle b_{2}=x+d}$). Dal punto ${\displaystyle C}$ si misura l'angolo acuto ${\displaystyle ACB}$ (${\displaystyle \gamma _{1}}$) e da ${\displaystyle D}$ si misura l'angolo acuto ${\displaystyle ADB}$ (${\displaystyle \gamma _{2}}$) sotto cui si vede la sommità della torre ${\displaystyle AB}$ (${\displaystyle c}$). Applicando opportunamente le formule si ottiene

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}=x\tan \gamma _{1};}$

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{2}\tan \gamma _{2}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}$

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x\tan \gamma _{1}=(x+d)\tan \gamma _{2}.}$

Questa equazione è facilmente risolvibile noti ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}.}$

Trovato ${\displaystyle x}$ si ha ${\displaystyle b_{1}}$ e quindi si può calcolare

${\displaystyle h_{\text{torre}}=c=b_{1}\tan \gamma _{1}.}$

Per calcolare l'area del triangolo ${\displaystyle ABC}$, di base ${\displaystyle CB=a}$, serve l'altezza ${\displaystyle AH}$. Nel triangolo rettangolo ${\displaystyle CHA}$, di ipotenusa ${\displaystyle AC=b}$, l'altezza ${\displaystyle AH=h}$ può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo ${\displaystyle \gamma }$. Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

${\displaystyle AH=h=b\sin \gamma }$

e quindi

${\displaystyle {\text{Area}}={\frac {1}{2}}ah={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

Questa formula vale anche se ${\displaystyle \gamma }$ è ottuso.

Fissato su un piano un punto origine ${\displaystyle O(0;0)}$ e una semiretta ${\displaystyle Or}$, dato un punto ${\displaystyle P}$ del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ con la condizione ${\displaystyle \rho >0}$ e ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{o}}$. La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di ${\displaystyle P}$. Geometricamente ${\displaystyle \rho }$ rappresenta la distanza ${\displaystyle OP}$, mentre ${\displaystyle \theta }$ rappresenta l'angolo ${\displaystyle HOP}$ misurato in senso antiorario con primo lato ${\displaystyle OH}$.

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane ${\displaystyle (x;y)}$ e le coordinate polari ${\displaystyle (\rho$ ;\theta )} del punto ${\displaystyle P}$. Le seguenti considerazioni fatte per un punto ${\displaystyle P}$ sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \\y=\rho \sin \theta .\end{cases}}}$

Elevando al quadrato e sommando si ottiene ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}}$ e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x.\end{cases}}}$

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per ${\displaystyle x=0}$ ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di ${\displaystyle P}$ per calcolare correttamente ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{se }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{se }}x<0.\end{cases}}}$

Data una circonferenza e una corda ${\displaystyle AB}$, il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.}$

Considerato un triangolo qualsiasi di lati ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$, il rapporto tra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.}$

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

${\displaystyle {\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .}$

Ossia, indicando con ${\displaystyle a,b,c}$ la lunghezza dei lati e ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ gli angoli ad essi opposti, si ottiene

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$ ;}

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$ ;}

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$

Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora.

Sia ${\displaystyle a}$ il lato noto e ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ i due angoli noti. Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

${\displaystyle \alpha +\beta <180^{o},}$

in caso contrario il problema non ha soluzione.

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari, in caso contrario il problema non ha soluzione.

Il problema ha sempre una sola soluzione.

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni. Siano ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ i lati noti sia ${\displaystyle \alpha }$ l'angolo noto.

1. Si calcola l'angolo incognito ${\displaystyle \beta }$ con il teorema dei seni ${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}.}$
2. Se ${\displaystyle \alpha }$ è ottuso si otterrà un solo angolo ${\displaystyle \beta _{1}}$ acuto, altrimenti si trova anche ${\displaystyle \beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}.}$
3. Si calcola ${\displaystyle \gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )}$ ed eventualmente ${\displaystyle \gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha ).}$
4. Si calcola ${\displaystyle c_{1}}$ e eventualmente ${\displaystyle c_{2}}$ utilizzando il teorema dei seni ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$