Biegunowa

Prosta q jest biegunową punktu Q względem pokazanego okręgu. Prostą q można skonstruować w trzech krokach: (1) połączyć punkty O i Q prostą; (2) znaleźć na niej inwersję punktu Q względem tego okręgu – punkt P; (3) przeprowadzić przez P prostą prostopadłą do prostej *OQP*

Biegunowa punktu względem okręgu – pojęcie geometrii, konkretniej planimetrii. Biegunowa to prosta związana z ustalonym punktem i okręgiem leżącymi w jednej płaszczyźnie. Biegunowa jest definiowana przez jednoczesne spełnianie dwóch warunków^[1]:

przechodzi przez inwersję wyjściowego punktu względem tego okręgu;
jest prostopadła do odcinka OP, gdzie O to środek tego okręgu, a P – wynik powyższej inwersji.

Biegunowa punktu względem okręgu ma uogólnienie – rozważa się też biegunowe punktu względem innych krzywych^[2].

Wzajemność biegunowych

Twierdzenie

Jeśli punkt A leży na biegunowej B względem o, to B leży na biegunowej A względem o.

Dowód

Spełnione są zależności:

{\frac {OA}{r}}={\frac {r}{OA'}}

{\frac {OB}{r}}={\frac {r}{OB'}}

Dzieląc stronami uzyskujemy:

{\frac {OA}{OB}}={\frac {OB'}{OA'}}

a zatem (ze względu na wspólność kąta AOB) trójkąty OAB' i OBA' są podobne (bok, kąt, bok), więc kąt OB'A jest prosty i odcinek B'A zawiera się w biegunowej B.

Przypisy

↑ BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Na biegunach, „Delta”, styczeń 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-07-20] .
↑ biegunowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-07-20] .

Linki zewnętrzne

MarekM. Kordos MarekM., Korelacje biegunowe, „Delta”, czerwiec 1986, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-07-20] .
Dominik Burek, Dwustosunek i biegunowe, Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego (WMiI UJ), dominik-burek.u.matinf.uj.edu.pl, 13 marca 2012 [dostęp 2025-07-20].

[1] BartłomiejB. Bzdęga BartłomiejB., Na biegunach, „Delta”, styczeń 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-07-20] .

[epwn-2] biegunowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-07-20] .

[1]

[2]