Ciąg funkcyjny

Ciąg funkcyjny – ciąg, którego wyrazami są funkcje^[1]^[2]

Definicja

Ciąg funkcyjny $\{f_{n}(x)\}$ określony na podzbiorze $X$ zbioru liczb rzeczywistych $X\subseteq R$ lub zespolonych $\,X\subseteq C$ jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej $n$ dokładnie jednej funkcji $f_{n}(x)$ określonej na tym zbiorze.^[1]

Zamiast $\{f_{n}(x)\}$ piszemy też $f_{1},f_{2},\ldots f_{n},\ldots$

Przykład

\{f_{n}(x)\}=\{nx^{2}+{\frac {x}{n}}\}\equiv x^{2}+{\frac {x}{1}},\,2x^{2}+{\frac {x}{2}},\,3x^{2}+{\frac {x}{3}},\,\ldots ,nx^{2}+{\frac {x}{n}},\ldots

- poszczególne funkcje ciągu są zależne od wartości indeksu $n\in N$ ; $x\in X$ - liczba rzeczywista / zespolona.

Zbieżność

Dla ciągów funkcyjnych rozważa się zagadnienie ich zbieżności, ciągłości, różniczkowalności, całkowania.

Rodzaje zbieżności

W zależności od kontekstu i przestrzeni funkcji wyróżnia się:

zbieżność jednostajną,
zbieżność monotoniczną,
zbieżność prawie jednostajną,
zbieżność prawie wszędzie,
zbieżność punktową ciągu funkcji,
zbieżność według miary ciągów funkcyjnych.

Zobacz też

szereg funkcyjny

Przypisy

1 2 Żakowski i Leksiński 1978 ↓, s. 264.
↑ ciąg funkcyjny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .

Bibliografia

W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, Rozdział III Funkcje zmiennej zespolonej, s. 233-350. ISBN 978-83-01-19359-1

[CITEREFŻakowskiLeksiński1978264-1] 1 2 Żakowski i Leksiński 1978 ↓, s. 264.

[epwn-2] ciąg funkcyjny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03] .

[1]

[2]