Diagram Eulera

Pierwszymi autorami, którzy opublikowali drukiem diagramy w stylu Eulera i krótko je omówili, byli Juan Luis Vives (w 1531), Nicolaus Reimers (w 1589), Bartłomiej Keckermann (w 1601) oraz Johann Heinrich Alsted (w 1614)^[7]. Pierwsze szczegółowe opracowanie tych diagramów przypisuje się Erhardowi Weiglowi (1625–1699), który nazywał ten rodzaj diagramu logometrum (przyrządem do mierzenia logiki)^[8]. Weigel jako pierwszy wykorzystał figury na płaszczyźnie do wykazania poprawności wszystkich prawidłowych form sylogizmu. Dla sądów ogólnotwierdzących, czyli zdań typu „wszystkie A są B”, figura podmiotu powinna leżeć w całości wewnątrz figury orzecznika. Dla sądów przeczących, typu „żaden A nie jest B”, figury powinny być rozłączne. Dla sądów szczegółowych, typu „niektóre A są B”, figury powinny się częściowo przecinać. Aby sprawdzić poprawność sylogizmu, należy najpierw narysować wszystkie możliwe figury odpowiadające przesłankom, a następnie ustalić, czy da się z nich odczytać także wniosek^[8].

Erhard Weigel posługiwał się w diagramach inicjałami, podczas gdy jego uczniowie, tacy jak Johann Christoph Sturm (1635–1703) oraz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), używali okręgów lub linii^[8][9][10]. Inna tradycja wywodzi się od Christiana Weisego (1642–1708), który miał stosować te diagramy w nauczaniu^[8]. Wspominali o tym jego uczniowie Samuel Großer i Johann Christian Lange. Zwłaszcza Lange rozszerzył zastosowanie tych diagramów poza sylogistykę, posługując się nimi między innymi w analizie kwantyfikowanych orzeczników^[11].

W Listach do księżniczki niemieckiej Euler skupił się wyłącznie na tradycyjnej sylogistyce^[12]. Nie tylko sprawdzał on poprawność sylogizmów, lecz także opracował metodę wyciągania wniosków z przesłanek^[13][14]. Równocześnie z Eulerem podobnymi diagramami posługiwali się Gottfried Ploucquet oraz Johann Heinrich Lambert^[7][15]. Diagramy zyskały jednak szerszą popularność dopiero w latach 90. XVIII wieku za sprawą Immanuela Kanta (1724–1804), który wykorzystywał je w wykładach z logiki. Jego uczniowie rozpowszechnili wiedzę o nich w całej Europie^[16][17]. W XIX wieku diagramy Eulera stały się najpowszechniej stosowaną formą reprezentacji w logice, zwłaszcza wśród „kantystów”, takich jak Arthur Schopenhauer, Karl Christian Friedrich Krause czy William Hamilton^[18][19].

Historia tych diagramów była wówczas zbadana tylko częściowo. Większość logików przypisywała więc ich autorstwo Eulerowi, co prowadziło do licznych nieporozumień. Część z nich utrzymuje się do dziś. William Hamilton błędnie twierdził, że pierwszym, który użył okręgów do „uzmysłowienia… abstrakcji logiki”, był nie Euler, lecz Weise^[20]. W rzeczywistości jednak książkę przypisywaną Weisemu napisał Johann Christian Lange, a nie Weise^[21.1][22].

John Venn (1834–1923) zwracał uwagę na uderzającą popularność diagramu Eulera. Stwierdził, że spośród pierwszych sześćdziesięciu przejrzanych przez niego traktatów logicznych aż trzydzieści cztery korzystały z diagramów, niemal zawsze ze „schematu eulerowskiego”^[21.2]. Mimo to zarzucał temu schematowi „niezdatność do celów logiki naprawdę ogólnej” i zauważał, że „pasuje on, lecz źle, nawet do czterech sądów logiki potocznej, do których zwykle bywa stosowany”^[21.2].

Venn sformułował przy tym kluczowy zarzut: w ilustracji Hamiltona sądy O (szczegółowo-przeczący) oraz I (szczegółowo-twierdzący) są jedynie wzajemnie obrócone, a ten sam diagram bywa używany do przedstawienia obu, „co czyni równie niedoskonale”^[21.3]. Na tej podstawie Venn przedstawił sposób przejścia od „staromodnych diagramów Eulera” do konstrukcji, które później nazwano diagramami Venna.

Do 1914 roku Louis Couturat (1868–1914) opatrzył etykietami obszary diagramu, w tym obszar zewnętrzny^[23]. Zwięźle wyjaśnił, jak posługiwać się diagramem: aby uzyskać wynik, należy „wykreślić (przez zacieniowanie)” te obszary, które mają zniknąć na mocy danych zadania^[23]. Współcześnie diagram Venna umieszcza się w „ramce” otaczającej wszystkie okręgi, zwanej uniwersum lub dziedziną rozważań.

Couturat zauważył, że w sposób bezpośredni i algorytmiczny nie da się z takiego diagramu wyprowadzić uproszczonych równań algebry Boole’a ani odczytać wniosku. Stwierdził, że metoda ta „ma… poważne niedogodności jako sposób rozwiązywania zagadnień logicznych”, ponieważ pokazuje tylko jeden krok rozumowania – samo równanie zadania^[23]. Istotny postęp nastąpił w latach 1952–1953, gdy Edward W. Veitch zaproponował nową metodę, którą Maurice Karnaugh (1924–2022) następnie zaadaptował i rozwinął^[24][25]. Prace te opierały się na metodzie tablic prawdy, ściśle zdefiniowanej przez Emila Posta, oraz na zastosowaniu rachunku zdań do logiki przełączającej, które rozwijali między innymi Claude Shannon, George Stibitz i Alan Turing^[26].

W Stanach Zjednoczonych diagramy Venna i Eulera weszły do nauczania teorii mnogości w ramach ruchu „nowej matematyki” lat 60. XX wieku, a później także do innych obszarów dydaktyki, na przykład nauki czytania ze zrozumieniem^[27]. W latach 90. XX wieku diagramy Eulera rozwinięto w system logiczny^[5]. Badania nad reprezentacjami graficznymi wskazywały także na ich zalety poznawcze^[28][29][30]. Z czasem ich zastosowania wykroczyły poza przedstawianie zbiorów. Diagramy zaczęto wykorzystywać także w informatyce (w tym w sztucznej inteligencji i inżynierii oprogramowania), naukach biologicznych, medycynie, ekonomii i statystyce^[4]. Przedmiotem badań stały się również ich aspekty filozoficzne i historia^[31][32]. W 2000 roku zapoczątkowano serię konferencji The Theory and Application of Diagrams, poświęconych między innymi bieżącym badaniom nad diagramami Eulera^[4].

Poprawność wniosku „żaden X nie jest Z” wyprowadzonego z przesłanek „żaden Y nie jest Z” i „każdy X jest Y” można sprawdzić tablicą prawdy. Przesłanki zapisuje się jako formułę rachunku zdań, łącząc ją z proponowanym wnioskiem za pomocą implikacji (P → Q, czytane „jeżeli P, to Q”). Jeśli kolumna odpowiadająca implikacji zawiera wyłącznie jedynki, formuła jest tautologią (zdaniem zawsze prawdziwym), a wniosek jest poprawny^[26].

W zapisie symbolicznym przykładu stosuje się następujące oznaczenia^[26]:

• ${\displaystyle 1}$ – wartość logiczna „prawda”, ${\displaystyle 0}$ – „fałsz”;
• apostrof lub ${\displaystyle \lnot }$ – negacja (x′ czytamy „nie-x”);
• ${\displaystyle \land }$ – koniunkcja („i”); w zapisie mintermu jej symbol pomija się, zapisując zmienne obok siebie (x′y′z znaczy „nie-x i nie-y i z”);
• ${\displaystyle \to }$ – implikacja („jeżeli… to…”).

Dla dowolnego elementu rozpatrywanego uniwersum niech x, y i z oznaczają odpowiednio, czy element ten należy do zbiorów X, Y i Z. Przesłanki można wtedy zapisać jako formułę ${\displaystyle P=\lnot (y\land z)\land (x\to y),}$ a proponowany wniosek jako ${\displaystyle Q=\lnot (x\land z).}$ Sprawdza się więc implikację P → Q^[26]:

Ponieważ formuła P → Q jest tautologią, w każdym wartościowaniu, w którym prawdziwa jest przesłanka P, prawdziwy jest także wniosek Q. Regułę modus ponens (regułę odrywania) można zapisać jako ${\displaystyle P\to Q,\,P\vdash Q}$ – do „oderwania” wniosku potrzebna jest więc, obok samej implikacji, także prawdziwość przesłanki P. W rozpatrywanym przykładzie reguła ta pozwala wyprowadzić z przesłanek, ujętych łącznie jako P, wniosek Q: „żaden X nie jest Z”. Wiersze, w których P jest prawdziwe (0, 1, 2 i 6), odpowiadają mintermom ${\displaystyle x'y'z'+x'y'z+x'yz'+xyz',}$ które redukują się do ${\displaystyle x'y'+yz'.}$ Ten sam wynik otrzymuje się przez sklejanie sąsiednich jedynek w tablicy Karnaugha^[26].