Iloczyn teleskopowy przypomina składanie teleskopu , w którym kolejne segmenty wsuwają się w siebie i znikają, pozostawiając jedynie elementy skrajne. Iloczyn teleskopowy – iloczyn skończony lub nieskończony, którego czynniki po odpowiednim przekształceniu ulegają kolejnej redukcji teleskopowej , pozostawiając jedynie czynniki początkowe i końcowe[ 1]
Najczęściej rozważa się iloczyny postaci
∏
k
=
m
n
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}}
gdzie
g
{\displaystyle g}
Definicja
Niech
A
⊆
Z
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {Z} }
g
:
A
→
R
∖
{
0
}
{\displaystyle g:A\to \mathbb {R} \setminus \{0\}}
Iloczyn
∏
k
=
m
n
f
(
k
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}f(k)}
nazywa się iloczynem teleskopowym , jeżeli istnieje funkcja
g
{\displaystyle g}
f
(
k
)
=
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
{\displaystyle f(k)={\frac {g(k+1)}{g(k)}}}
dla każdego
k
∈
{
m
,
m
+
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle k\in \{m,m+1,\dots ,n\}}
Wówczas po rozwinięciu iloczynu otrzymujemy
∏
k
=
m
n
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}}
=
g
(
m
+
1
)
g
(
m
)
⋅
g
(
m
+
2
)
g
(
m
+
1
)
⋯
g
(
n
+
1
)
g
(
n
)
{\displaystyle ={\frac {g(m+1)}{g(m)}}\cdot {\frac {g(m+2)}{g(m+1)}}\cdots {\frac {g(n+1)}{g(n)}}}
a wszystkie czynniki pośrednie redukują się parami.
Jeżeli
f
(
k
)
=
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
{\displaystyle f(k)={\frac {g(k+1)}{g(k)}}}
to zachodzi wzór
∏
k
=
m
n
f
(
k
)
=
g
(
n
+
1
)
g
(
m
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}f(k)={\frac {g(n+1)}{g(m)}}}
Korzystając z definicji, mamy
∏
k
=
m
n
f
(
k
)
=
∏
k
=
m
n
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}f(k)=\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}}
=
g
(
m
+
1
)
g
(
m
)
⋅
g
(
m
+
2
)
g
(
m
+
1
)
⋯
g
(
n
+
1
)
g
(
n
)
{\displaystyle ={\frac {g(m+1)}{g(m)}}\cdot {\frac {g(m+2)}{g(m+1)}}\cdots {\frac {g(n+1)}{g(n)}}}
Po skróceniu wszystkich czynników pozostaje
g
(
n
+
1
)
g
(
m
)
{\displaystyle {\frac {g(n+1)}{g(m)}}}
Jeżeli wszystkie wartości funkcji
g
{\displaystyle g}
ln
(
∏
k
=
m
n
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
)
=
∑
k
=
m
n
(
ln
g
(
k
+
1
)
−
ln
g
(
k
)
)
{\displaystyle \ln \!\left(\prod _{k=m}^{n}{\frac {g(k+1)}{g(k)}}\right)=\sum _{k=m}^{n}\left(\ln g(k+1)-\ln g(k)\right)}
Logarytm iloczynu teleskopowego jest więc sumą teleskopową.
Jeżeli istnieje granica
lim
n
→
∞
g
(
n
)
=
L
≠
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(n)=L\neq 0}
to
∏
k
=
m
∞
g
(
k
+
1
)
g
(
k
)
=
lim
n
→
∞
g
(
n
+
1
)
g
(
m
)
=
L
g
(
m
)
{\displaystyle \prod _{k=m}^{\infty }{\frac {g(k+1)}{g(k)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g(n+1)}{g(m)}}={\frac {L}{g(m)}}}
Rozważmy iloczyn
P
=
∏
k
=
1
n
k
+
1
k
{\displaystyle P=\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}}
Po rozwinięciu
P
=
2
1
⋅
3
2
⋅
4
3
⋯
n
+
1
n
{\displaystyle P={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdots {\frac {n+1}{n}}}
Wszystkie czynniki pośrednie redukują się, więc
∏
k
=
1
n
k
+
1
k
=
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}=n+1}
Rozważmy iloczyn
P
=
∏
k
=
2
∞
k
2
−
1
k
2
{\displaystyle P=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}}
Mamy
k
2
−
1
k
2
=
k
−
1
k
⋅
k
+
1
k
{\displaystyle {\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {k-1}{k}}\cdot {\frac {k+1}{k}}}
więc
∏
k
=
2
n
k
2
−
1
k
2
=
n
+
1
2
n
{\displaystyle \prod _{k=2}^{n}{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {n+1}{2n}}}
Przechodząc do granicy
∏
k
=
2
∞
k
2
−
1
k
2
=
1
2
{\displaystyle \prod _{k=2}^{\infty }{\frac {k^{2}-1}{k^{2}}}={\frac {1}{2}}}
Niech
f
(
k
)
=
k
+
1
k
{\displaystyle f(k)={\frac {k+1}{k}}}
Wówczas
ln
(
∏
k
=
1
n
f
(
k
)
)
=
∑
k
=
1
n
(
ln
(
k
+
1
)
−
ln
(
k
)
)
{\displaystyle \ln \!\left(\prod _{k=1}^{n}f(k)\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(\ln(k+1)-\ln(k)\right)}
a więc
∏
k
=
1
n
f
(
k
)
=
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f(k)=n+1}
