Metoda Sheparda

Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.

Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej ${\displaystyle u}$ dla danego punktu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ma formę funkcji:

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}},}$

gdzie:

${\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}}$ – współczynnik wagowy wprowadzony przez Sheparda^[1],

${\displaystyle \mathbf {x} }$ – dowolny punkt aproksymowany,

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ – znany punkt aproksymacyjny,

${\displaystyle d}$ – określony operatorem metryki,

${\displaystyle N}$ – całkowita liczba punktów aproksymacyjnych,

${\displaystyle p}$ – parametr.

W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a punktem aproksymującym ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}.}$ Dla ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla ${\displaystyle p>1}$ jest gładka. Najczęściej przyjmuje się ${\displaystyle p=2.}$

Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k},}$ ${\displaystyle u_{k}\},}$ zdefiniowanego jako:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}}$

oraz warunku minimalizacji:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}$

Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki^[2] w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:

${\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}},}$

gdzie ${\displaystyle \varepsilon }$ dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.