Miara Lebesgue’a

Miara Lebesgue’a (czyt. „lebega”) – miara podzbiorów przestrzeni rzeczywistej, w ogólności wielowymiarowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, będąca uogólnieniem takich miar jak długość odcinka czy długość krzywej, pole powierzchni, objętość na złożone podzbiory przestrzeni rzeczywistej, którym nie można było przypisać wcześniej używanych miar. Np. miara Jordana załamywała się przy próbie przypisania miary zbiorowi Cantora.

Definicja miary Lebesgue'a ${\displaystyle \lambda }$ opiera się na definicji miary zewnętrznej Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda ^{*}}$, która jest określona na zbiorze wszystkich podzbiorów przestrzeni rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Miara zewnętrzna Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia oraz przedziałom jednostkowym przypisuje wartość 1, co znaczy, że jest odpowiednia do pomiaru wielkości geometrycznych, jak długość, pole powierzchni, objętość, itd. Miara ta nie jest jednak przeliczalnie addytywna, co oznacza, że miara sumy zbiorów rozłącznych może być mniejsza niż suma miar tych zbiorów.

Właściwa miara Lebesgue'a nie ma już tej wady (tzn. jest przeliczalnie addytywna): jest równa mierze zewnętrznej Lebesgue'a, ale jej dziedzina jest ograniczona do zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego; zbiory te tworzą σ-ciało, które jest dziedziną miary Lebesgue’a. (Zgodnie z wymogami teorii miary dziedziną każdej dobrze określonej miary musi być pewne σ-ciało zbiorów i tylko zbiorom z tego σ-ciała miara przypisuje wartości liczbowe). Miara Lebesgue'a jest zupełna, co oznacza, że wszystkie podzbiory zbiorów o mierze zerowej są również mierzalne i mają miarę zero. Każdy zbiór borelowski jest mierzalny w sensie Lebesgue’a; zbiór Cantora ma miarę 0, zaś niemierzalny jest np. zbiór Vitaliego.

Definicja miary Lebesgue’a pochodzi z pracy Henriego Lebesgue’a^[1], która dotyczyła rozszerzenia pojęcie całki na znacznie szerszą klasę funkcji niż całka Riemanna (tzw. całka Lebesgue’a).

Teoria miary niemal od początku stawiała pytanie, czy istnieje miara ${\displaystyle m}$ o następujących własnościach^[2]:

1. miara ${\displaystyle m}$ jest określona dla wszystkich podzbiorów przestrzeni rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$, to znaczy dziedziną ${\displaystyle m}$ jest zbiór potęgowy zbioru liczb rzeczywistych,
2. dowolny przedział liczb rzeczywistych ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle b\geqslant a}$ ma miarę ${\displaystyle m([a,b])=b\!-\!a}$; w szczególności przedział ${\displaystyle [0,1]}$ ma miarę ${\displaystyle m([0,1])=1}$,
3. miara ${\displaystyle m}$ jest niezmiennicza na przesunięcia, tzn. ${\displaystyle m(A+x)=m(A)}$ dla każdego przesunięcia ${\displaystyle x}$ i dla każdego zbioru ${\displaystyle A}$ w przestrzeni rzeczywistej

W powszechnie akceptowanej teorii zbiorów z aksjomatem wyboru (bądź z jego słabszymi formami, wynikającymi z twierdzenia o ideale pierwszym) nie istnieje miara ${\displaystyle m}$ spełniająca warunki 1. 2. i 3. Miara Lebesgue'a spełnia warunki 2. i 3., a zamiast warunku 1. podaje kryterium, które dzieli wszystkie możliwe zbiory zbioru liczb rzeczywistych na mierzalne oraz na niemierzalne.

Przedstawiona tu konstrukcja korzysta z pojęcia miary zewnętrznej i odnoszącego się do niej twierdzenia Carathéodory’ego^[3].

Niech ${\displaystyle P}$ oznacza ${\displaystyle d}$-wymiarowy przedział domknięty^[4]

${\displaystyle P=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{d},b_{d}]}$, gdzie ${\displaystyle b_{i}\geqslant a_{i},i=1,2,\dots ,d}$.

Def. Przedział niepusty ${\displaystyle P}$ nazywamy ograniczonym, jeżeli długości wszystkich jego krawędzie są liczbami skończonymi nieujemnymi^[4].

Def. d-wymiarową objętością przedziału ${\displaystyle P}$ ograniczonego nazywamy liczbę ${\displaystyle \operatorname {vol} _{d}(P)}$ taką że^[4]

${\displaystyle \operatorname {vol} _{d}(P)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot \ldots \cdot (b_{d}-a_{d}),}$

tj. objętość ${\displaystyle d}$-wymiarowego przedziału jest iloczynem długości krawędzi ${\displaystyle (b_{i}-a_{i}),i=1,2,\dots ,d}$.

Objętość zbioru pustego przyjmuje się jako równa 0^[4], tj.

${\displaystyle \operatorname {vol} _{d}(\varnothing )=0.}$

Uwaga: Dla ${\displaystyle d=1}$ przedział ograniczony ${\displaystyle P}$ jest odcinkiem, a ${\displaystyle \operatorname {vol} _{1}(P)}$ – długością odcinka ${\displaystyle P}$. Jeżeli ${\displaystyle d=2}$, to ${\displaystyle P}$ jest prostokątem, a ${\displaystyle \operatorname {vol} _{2}(P)}$ – polem prostokąta. Jeżeli ${\displaystyle d=3}$, to ${\displaystyle P}$ jest prostopadłościanem, a ${\displaystyle \operatorname {vol} _{3}(P)}$ – objętością prostopadłościanu. ${\displaystyle d}$-wymiarowa objętość przedziału ${\displaystyle P}$ jest więc uogólnieniem pojęcia długości odcinka, pola prostokąta i objętości prostopadłościanu^[5].

Def. Miarą zewnętrzną Lebesgue’a

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)}$ zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ nazywamy miarę zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję ${\displaystyle \operatorname {vol} _{d}}$^[6],

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigg \{}\sum _{n=1}^{+\infty }\operatorname {vol} _{d}(B_{n})\colon A\subseteq \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }B_{n}{\Bigg \}}}$

gdzie ${\displaystyle \inf }$ oznacza kres dolny, a ${\displaystyle B_{n}}$ to d-wymiarowe przedziały w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, których suma pokrywa zbiór mierzony.

Czyli: Miara zewnętrzna Lebesgue’a zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ jest kresem dolnym liczb, będących sumami objętości zbiorów (domkniętych przedziałów ${\displaystyle d}$-wymiarowych), tworzących przeliczalne rodziny i takie, że sumy mnogościowe zbiorów tych rodzin zawierają zbiór ${\displaystyle A}$.

Uwaga: Nazwa "miara zewnętrzna" pochodzi stąd, że do mierzenia wybiera się pokrycia zbioru (i szuka najmniejszego możliwego pokrycia), które zawiera zbiór ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A\subseteq \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }B_{n}}$. Na rysunkach pokazano przybliżenia miary zewnętrznej figury za pomocą pokryć o coraz mniejszej całkowitej powierzchni (${\displaystyle 14\to 11,5\to 10,16}$). Dalsze zmniejszanie boków kwadratów pokrycia prowadzi do coraz dokładniejszego przybliżenia miary zewnętrznej; kres dolny tych przybliżeń jest miarą zewnętrzną mierzonej figury (i wynosi tu 9,42).

Def. Zbiór ${\displaystyle A}$ nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue’a w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, jeżeli jest on mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem miary ${\displaystyle \lambda ^{*},}$ tzn. dla każdego zbioru ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ spełniony jest warunek Carathéodory’ego^[7]:

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}{\big (}S\cap (\mathbb {R} ^{d}\setminus A){\big )}.}$

Def. Miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda }$ w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ nazywamy miarę zewnętrzną ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, której dziedzina jest ograniczona do rodziny ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego^[7], co formalnie zapisujemy

${\displaystyle \lambda =\lambda ^{*}{\big |}_{\mathcal {L}}}$

przy czym dowodzi się, że rodzina zbiorów ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ tworzy ${\displaystyle \sigma }$-ciało przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$^[8].

Tw. Miara Lebesgue’a jest miarą zupełną na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (tj. każdy podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest mierzalny i miary zero). Rodzina wszystkich zbiorów o mierze Lebesgue'a ${\displaystyle \lambda (A)=0}$ jest identyczna z rodziną wszystkich zbiorów ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{d}}$ o mierze zewnętrznej ${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=0}$^[7].

Dowód: Własność ta wynika bezpośrednio z twierdzenia Carathéodory’ego.

Tw. Miara Lebesgue’a zbioru ograniczonego (tj. takiego, który da się zawrzeć w ${\displaystyle d}$-wymiarowym przedziale ograniczonym) jest liczbą skończoną. Każdy zbiór ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}}$ da się przedstawić w postaci sumy zbiorów ograniczonych ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {L}}}$^[9], tj.

${\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

W szczególności ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\bigcup _{n=1}^{\infty }~[-n,n]^{d}.}$ Wynika stąd natychmiast:

Tw. Miara Lebesgue'a jest miarą półskończoną na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$^[10].

Rozważmy zbiór Cantora ${\displaystyle C\subseteq [0,1]}$. Zbiór ten otrzymujemy z przedziału ${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$ poprzez usunięcie otwartej środkowej 1/3 tego odcinka i tak w nieskończoność, tj. w każdym kolejny kroku usuwamy z aktualnie istniejących odcinków ich otwarte środkowe części o długości 1/3. Na początku mamy:

${\displaystyle C_{0}=[0,1],}$ a jego miara Lebesgue'a wynosi ${\displaystyle \lambda (C_{0})=1.}$

W pierwszym kroku usuwamy przedział otwarty ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}})}$, otrzymując:

${\displaystyle C_{1}=\left[0,{\tfrac {1}{3}}\right]\cup \left[{\tfrac {2}{3}},1\right],}$ ${\displaystyle \lambda (C_{1})={\tfrac {2}{3}}.}$

W drugim kroku usuwamy środkowe części obu pozostałych przedziałów. Łączna długość usuniętych przedziałów wynosi ${\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{9}}={\tfrac {2}{9}}}$, zatem:

${\displaystyle \lambda (C_{2})={\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {2}{9}}={\tfrac {4}{9}}.}$

Ogólnie, po ${\displaystyle n}$-tym kroku pozostaje ${\displaystyle 2^{n}}$ przedziałów, z których każdy ma długość ${\displaystyle 3^{-n}}$. Stąd:

${\displaystyle \lambda (C_{n})=2^{n}\cdot {\tfrac {1}{3^{n}}}=\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{n}.}$

Zbiór Cantora jest częścią wspólną wszystkich zbiorów ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle C=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$, więc jego miara wynosi

${\displaystyle \lambda (C)=\lambda {\Big (}\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}{\Big )}}$

Zbiory ${\displaystyle C_{n}}$ są zstępującymi zbiorami mierzalnym oraz ${\displaystyle \lambda (C_{0})<\infty }$. Korzystając z twierdzenia o ciągłości miary z góry otrzymujemy:

${\displaystyle \lambda (C)=\lambda {\Big (}\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\lambda (C_{n})=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}=0.}$

Miara Lebesgue’a zbioru Cantora jest więc równa zero, pomimo że zbiór ten ma moc continuum czyli zawiera nieprzeliczalnie wiele punktów (por. Własności zbioru Cantora).

Miara Lebesgue’a to miara, która jest:

• zupełna,
• wewnętrznie regularna,
• niezmiennicza na przesunięcia (tzn. miara dowolnego podzbioru przesuniętego o ustalony wektor w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ jest taka sama jak miara zbioru, który jest przesuwany),
• borelowska (określona na σ-ciele zawierającym wszystkie otwarte podzbiory przestrzeni),
• przypisuje miarę jednostkową (równą jeden 1) jednostkowej kostce wielowymiarowej, a w konsekwencji jest odpowiednia do wyznaczania wielkości geometrycznych zbiorów.

(A) Z definicji miary Lebesgue'a wynika, że:

• jeżeli ${\displaystyle A}$ jest mierzalny, to mierzalne jest też jego dopełnienie,
• ${\displaystyle \lambda (A)\geqslant 0}$ dla każdego zbioru mierzalnego ${\displaystyle A,}$
• jeżeli ${\displaystyle A}$ jest sumą przeliczalnie wielu rozłącznych podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to ${\displaystyle A}$ też jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i ${\displaystyle \lambda (A)}$ jest równa sumie (skończonej bądź nieskończonej) miar tych zbiorów mierzalnych,
• jeżeli ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a, przy czym ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle B,}$ to ${\displaystyle \lambda (A)\leqslant \lambda (B)}$ (konsekwencja trzech powyższych),
• przeliczalne sumy oraz przekroje zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a są mierzalne w sensie Lebesgue’a; nie wynika to z powyższych własności, gdyż rodzina zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy rozłączne nie musi być zamknięta ze względu na przeliczalne sumy: ${\displaystyle {\big \{}\varnothing ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}{\big \}}.}$

(B) Z konstrukcji miary Lebesgue'a wynika, że:

• jeżeli ${\displaystyle A}$ jest iloczynem kartezjańskim przedziałów ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times \ldots \times I_{d}}$ (innymi słowy: jest przedziałem wielowymiarowym), to ${\displaystyle A}$ jest mierzalny w sensie Lebesgue’a oraz ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\dots |I_{n}|,}$ gdzie ${\displaystyle |I|}$ oznacza długość przedziału ${\displaystyle I,}$
• każdy zbiór borelowski (a więc w szczególności zbiór otwarty lub zbiór domknięty) w przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a^[11],
• miara Lebesgue’a jest lokalnie skończona i wewnętrznie regularna, jest więc miarą Radona,
• jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem mierzalnym oraz ${\displaystyle \delta >0}$ i ${\displaystyle x_{0}}$ jest dowolnym punktem, to zbiory ${\displaystyle \delta A=\{\delta x\colon x\in A\}}$ i ${\displaystyle A+x_{0}=\{a+x_{0}\colon a\in A\}}$ są również mierzalne oraz są miary, odpowiednio, ${\displaystyle \delta ^{d}\lambda (A)}$ i ${\displaystyle \lambda (A).}$ Ogólniej, jeśli ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ jest przekształceniem liniowym, to obraz ${\displaystyle T(A)}$ jest mierzalny oraz jest miary ${\displaystyle |\det T|\lambda (A),}$
• każdy analityczny i koanalityczny podzbiór przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a,

(C) Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ prawdziwe są zdania (są to jednowymiarowe wersje twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości):

• dla prawie wszystkich ${\displaystyle x\in A}$

  ${\displaystyle \lim _{k\to 0^{+}}{\frac {\lambda ^{*}{\big (}A\cap (x,x+k){\big )}}{k}}=\lim _{k\to 0^{+}}{\frac {\lambda ^{*}{\big (}A\cap (x-k,x){\big )}}{k}}=1;}$

• jeżeli ${\displaystyle A}$ jest mierzalny, to dla prawie wszystkich ${\displaystyle x\notin A}$

  ${\displaystyle \lim _{k\to 0^{+}}{\frac {\lambda ^{*}{\big (}A\cap (x,x+k){\big )}}{k}}=\lim _{k\to 0^{+}}{\frac {\lambda ^{*}{\big (}A\cap (x-k,x){\big )}}{k}}=0.}$

W teorii zbiorów zakładającej aksjomat wyboru dowodzi się, że istnieją podzbiory prostej niemierzalne w sensie Lebesgue'a. Giuseppe Vitali w 1905 roku dał przykład takiego zbioru (zbiór Vitalego)^[12]. Innym zbiorem niemierzalnym jest zbiór Bernsteina^[13].

Prawdziwe jest też ogólniejsze twierdzenie: każdy mierzalny podzbiór przestrzeni euklidesowej miary dodatniej zawiera podzbiór niemierzalny. Istnienie i natura zbiorów niemierzalnych są częstym przedmiotem badań w opisowej teorii mnogości. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekście:

Twierdzenie (Sierpiński, 1920)

Istnieją takie podzbiory ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ zbioru liczb rzeczywistych, że niemierzalny jest zbiór

${\displaystyle X+Y=\{x+y\colon \,x\in X,y\in Y\}}$.

Twierdzenie (Cichoń-Morayne-Rałowski-Ryll-Nardzewski-Żeberski, 2001)

Istnieje taki podzbiór ${\displaystyle T}$ zbioru Cantora ${\displaystyle C}$ zawartego w przedziale ${\displaystyle [0,1],}$ że niemierzalny jest zbiór ${\displaystyle T+C}$.

Stefan Banach rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue’a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue’a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie:

Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory ${\displaystyle \mathbb {R} }$ znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?

W 1929 wraz z Kazimierzem Kuratowskim wykazał on, że przy założeniu hipotezy continuum taka miara nie istnieje^[14]. Z drugiej strony, Stanisław Ulam udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje liczba rzeczywiście mierzalna, to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue’a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej^[15]. Rozszerzenie to nie jest niezmiennicze na przesunięcia (tzn. nie spełnia warunku 3.)

Robert M. Solovay^[16] udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ forsuje pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto wykazał on, że jeżeli teoria mnogości ZF jest niesprzeczna, to ma ona model, w którym wszystkie podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a^[17].

Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus^[18] zaproponowali badania aksjomatu determinacji (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski^[19] wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a^[17]. Saharon Szelach^[20] wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy ${\displaystyle \Sigma _{3}^{1}}$ implikuje, że ${\displaystyle \omega _{1}}$ jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

Miara Jordana

Początkowo w definicji miary wymagano, aby miara zbioru będącego sumą skończenie wielu zbiorów rozłącznych była sumą ich miar. Skonstruowanie tego rodzaju miary jest stosunkowo łatwe zarówno dla podzbiorów prostej, jak i podzbiorów płaszczyzny: tę właśnie miarę, nazywaną miarą Jordana, wprowadza się niekiedy w geometrii elementarnej nauczanej w szkołach.

Mimo iż miara Jordana umożliwia zdefiniowanie całki Riemanna, która jest adekwatna do większości zastosowań, to w wielu ważnych problemach okazuje się niewystarczająca. Np. takie trudności pojawiały się w teorii szeregów Fouriera, a przyjęcie miary Lebesgue’a pozwoliło je usunąć. Z definicji miary Lebesgue’a wynika, że zbiory mierzalne w sensie Jordana są mierzalne również w sensie Lebesgue’a. Wynikanie nie zachodzi jednak w drugą stronę: np. zbiór liczb wymiernych z przedziału ${\displaystyle [0,1],}$ który nie jest mierzalny w sensie Jordana, jest mierzalny w sensie Lebesgue’a (jego miara jest równa zeru; zob. funkcja Dirichleta).

Miara borelowska

Miara borelowska pokrywa się z miarą Lebesgue’a na zbiorach, na których jest określona. Wynika to z faktu, iż σ-ciało ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a definiuje się jako σ-ciało ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ zbiorów borelowskich generowane przez rodzinę zbiorów otwartych (domkniętych) za pomocą dopełnień i przeliczalnych sum względem rozpatrywanej przestrzeni (topologicznej) oraz tworzących σ-ideał ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ zbiorów miary zero, tzn. zbiorów takich, które mogą być pokryte przedziałami o dowolnie małej łącznej objętości.

Pokazać można, że σ-ciało podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pokrywa się z rodziną

${\displaystyle {\mathfrak {L}}:={\big \{}B\triangle N\colon B\in {\mathfrak {B}}\land N\in {\mathfrak {N}}{\big \}},}$

gdzie ${\displaystyle \triangle }$ oznacza operację różnicy symetrycznej. Można powiedzieć, że jest to rodzina zbiorów zaniedbywalnie mało różniących się od zbiorów borelowskich; dowodzi się również, że zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a z punktu widzenia miary są niemal otwarte, jak i niemal domknięte.

Dowodzi się, że ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ jest najmniejszym (w sensie zawierania) σ-ciałem zawierającym ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathfrak {N}}.}$ Ponadto

${\displaystyle {\mathfrak {L}}={\big \{}G\triangle L\colon L\in {\mathfrak {L}}\land G}$ jest zbiorem typu G_δ${\displaystyle {\big \}}={\big \{}F\triangle L\colon L\in {\mathfrak {L}}\land F}$ jest zbiorem typu F_σ${\displaystyle {\big \}}.}$

Istnieje dużo więcej zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a niż zbiorów mierzalnych borelowsko. Klasa ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ jest znacznie węższa od klasy ${\displaystyle {\mathfrak {L}},}$ gdyż przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ zawiera zbiory miary zero mocy continuum, zaś rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru jest mocy wyższej niż continuum. Ponieważ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ jest mocy continuum, to przestrzeń ta zawiera podzbiory nieborelowskie miary zero (podobnie można argumentować, że istnieją zbiory miary zero, które nie są analityczne czy też koanalityczne).

Miara borelowska jest niezmiennicza ze względu na przesunięcia, ale nie jest zupełna.

Miara Haara

Miarę Haara można zdefiniować na lokalnie zwartej grupie topologicznej; jest ona uogólnieniem miary Lebesgue’a (w szczególności ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ z dodawaniem jest grupą lokalnie zwartą).

Miara Hausdorffa

Miara Hausdorffa jest uogólnieniem miary Lebesgue’a pomocnym w mierzeniu podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ wymiarów niższych niż ${\displaystyle d,}$ jak podrozmaitości, np. powierzchnie, czy krzywe w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ czy fraktale. Nie należy mylić miary Hausdorffa z odrębnym pojęciem wymiaru Hausdorffa.

Gdy ${\displaystyle X}$ jest nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną, to skonstruowanie na niej miary o analogicznych własnościach do miary Lebesgue’a okazuje się niemożliwe. Dokładniej: nie istnieje taka nietrywialna miara ${\displaystyle \mu }$ określona na pewnej σ-algebrze podzbiorów ${\displaystyle X}$ (zawierającej zbiory otwarte), która byłaby:

• niezmiennicza ze względu na przesunięcia, tj. dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ i zbioru mierzalnego ${\displaystyle A}$ zachodziłoby

  ${\displaystyle \mu (A)=\mu (x+A),}$

• lokalnie skończona, czyli każdy punkt przestrzeni ${\displaystyle X}$ miałby otoczenie skończonej miary,
• ściśle dodatnia, tzn. każdy niepusty zbiór otwarty miałby dodatnią miarę^[21].

W pewnym sensie nieistnienie tego typu porządnych obiektów w przypadku nieskończeniewymiarowym oddaje głębokie różnice w geometrii przestrzeni skończonego i nieskończonego wymiaru. Na przestrzeniach tych można jednak rozpatrywać inne naturalne miary, na przykład miary gaussowskie.

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa 2012, PWN, str. 266-289.
• A. Pelc, Teoria miary z punktu widzenia teorii mnogości, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego Seria II: Wiadomości Matematyczne XXVI (1984); dostęp online https://wydawnictwa.ptm.org.pl/index.php/wiadomosci-matematyczne/article/view/4034/0