Moment centralny

Moment centralny rzędu ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ to wartość oczekiwana funkcji ${\displaystyle [X-\mathbb {E} (X)]^{k},}$ tzn.^[1]:

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} [X-\mathbb {E} (X)]^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\sum _{i}{[x_{i}-\mathbb {E} (X)]^{k}p_{i}}}&{(1)}\\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{[x-\mathbb {E} (X)]^{k}f(x)dx}}&{(2)}\end{matrix}}\right.}$

gdzie:

• ${\displaystyle X}$ – zmienna losowa,
• ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej ${\displaystyle X,}$
• ${\displaystyle p_{i},i=1,2,\dots }$ – prawdopodobieństwa, z jakimi dyskretna zmienna losowa ${\displaystyle X}$ przyjmuje wartości ${\displaystyle x_{i},i=1,2,\dots }$,
• ${\displaystyle f(x)}$ – funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej ${\displaystyle X}$.

Wzory (1) i (2) stosuje się odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym oraz ciągłym.

• ${\displaystyle \mu _{0}=1}$ – zerowy moment centralny ma zawsze wartość równą 1,
• ${\displaystyle \mu _{1}=0}$ – pierwszy moment centralny ma zawsze wartość równą 0,
• ${\displaystyle \mu _{2}\equiv Var(X)}$ – drugi moment centralny jest wariancją rozkładu zmiennej losowej ${\displaystyle X}$^[1],
• ${\displaystyle \mu _{3}}$, trzeci moment centralny, pozwala obliczać skośność rozkładu zmiennej losowej (skośność charakteryzuje asymetrię rozkładu empirycznego),
• ${\displaystyle \mu _{4}}$, czwarty moment centralny, pozwala obliczać kurtozę rozkładu zmiennej losowej.

• moment zwykły

• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

• Moment centralny. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).
• Moments at Mathworld