Nakrycie

Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła ${\displaystyle p}$ z przestrzeni topologicznej ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ do przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X,}$ taka że każdy punkt w ${\displaystyle X}$ ma otoczenie otwarte ${\displaystyle U}$ równomiernie pokryte na skutek działania funkcji ${\displaystyle p}$ (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Nakrycie – ciągłe odwzorowanie ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$, takie że dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje przestrzeń dyskretna ${\displaystyle A_{x}}$ oraz otoczenie ${\displaystyle U_{x}\ni x}$ o tej własności, że przeciwobraz otoczenia ${\displaystyle U_{x}}$ w odwzorowaniu ${\displaystyle p}$, tj. ${\displaystyle p^{-1}(U_{x})}$, oraz ${\displaystyle U_{x}\times A_{x}}$ są homeomorficzne^[1]. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

W przypadku, gdy przestrzeń ${\displaystyle X}$ nie jest spójna, czasem zakłada się dodatkowo, że ${\displaystyle p}$ jest surjekcją^[2].

Włóknem nad punktem ${\displaystyle x\in X}$ nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu ${\displaystyle x}$ dla odwzorowania ${\displaystyle p,}$ tj.

${\displaystyle F_{p}(x)=p^{-1}(x).}$

Moc ${\displaystyle n=|F_{p}(x)|}$ włókna nad punktem ${\displaystyle x}$ nazywa się krotnością nakrycia w punkcie ${\displaystyle x.}$ Krotność jest funkcją lokalnie stałą. Gdy baza ${\displaystyle X}$ nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym^[1].

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy ${\displaystyle {S}^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}.}$ Odwzorowanie ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}}$ gdzie

${\displaystyle p(t)=(\cos t,\sin t)}$

jest nakryciem, w którym każdy punkt ${\displaystyle {S}^{1}}$ ma włókno nieskończone^[3]. Odwzorowanie ${\displaystyle p}$ jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ustaloną przestrzenią topologiczną. Nakrycia tej przestrzeni tworzy kategorię ${\displaystyle {\text{Cov}}(X)}$, w której:

• obiektami są nakrycia ${\displaystyle p:E\to X}$,
• morfizmami między nakryciami ${\displaystyle p:E\to X}$ i ${\displaystyle p':E'\to X}$ są ciągłe odwzorowania ${\displaystyle h:E\to E'}$ o tej własności, że diagram

jest przemienny^[4].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią łukowo spójną. Nakrycie ${\displaystyle p\colon {\tilde {X}}\to X}$ nazywamy uniwersalnym, jeśli istnieją ${\displaystyle y\in X}$ oraz ${\displaystyle x\in F_{p}(y)}$ takie, że dla dowolnego nakrycia ${\displaystyle p':{\tilde {X}}'\to X}$ i ${\displaystyle x'\in F_{p'}(y)}$ istnieje dokładnie jeden morfizm nakryć ${\displaystyle f:{\tilde {X}}\to {\tilde {X}}'}$ taki, że ${\displaystyle f(x)=x'}$. Równoważnie, jeśli ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ jest nakryciem jednospójnym oraz ${\displaystyle \beta :E\to X}$ jest dowolnym innym nakryciem jednospójnym, to istnieje dokładnie jeden homeomorfizm ${\displaystyle \alpha$ :{\tilde {X}}\to E} taki, że diagram

jest przemienny^[5].